Ad1 De métodos Estatísticos 2

É comum encontrar nos livros textos uma forma resumida da tabela da distribuição normal

padrão acumulada, contendo apenas a parte referente às abscissas positivas, conforme ilustrado

na tabela ao final desta prova. Com base nesta tabela, calcule as probabilidades a seguir

relativas a uma variável Z ∼ N (0; 1). Ilustre num gráfico da densidade normal as áreas

envolvidas para facilitar a visualização das equivalências. Você deve explicitar claramente

os eventos equivalentes sendo usados e, para facilitar a solução, você pode usar a notação

Φ(z) = Pr(Z ≤ z). Um exemplo: Pr(Z ≤ −1) = Pr(Z ≥ 1) = 1 − Pr(Z < 1) = 1 − Pr(Z ≤

1) = 1 − Φ(1) = 1 − 0, 84134 = 0, 15866

Comentário sobre a solução

A maior dificuldade na utilização desta versão da tabela é o cálculo de probabilidades do tipo

Pr(Z < a) (ou Pr(Z ≤ a) onde a < 0. Note que, para a > 0, essa probabilidade sai direto

da tabela. Veja a Figura 4, onde a área sombreada de cinza claro é a probabilidade desejada

Pr(Z < a) com a < 0. Por simetria, essa probabilidade é igual a Pr(Z > −a), que é a área

sombreada de cinza escuro. Finalmente, essa probabilidade pode ser calculada pela lei do

complementar como Pr(Z > −a) = 1 − Pr(Z ≤ −a) = 1 − Φ(−a).

Figura 4: Solução da questão 3

(a) Pr(Z < 1, 5)

Solução

Pr(Z < 1, 5) = Pr(Z ≤ 1, 5) = Φ(1, 5) = 0, 93319

(b) Pr(−2 ≤ Z ≤ 3)

Solução

Pr(−2 ≤ Z ≤ 3) = Pr(Z ≤ 3) − Pr(Z < −2) = Pr(Z ≤ 3) − Pr(Z ≤ −2)

= Φ(3, 0) − Pr(Z ≥ 2) = Φ(3, 0) − [1 − P (Z < 2)]

= Φ(3, 0) − [1 − P (Z ≤ 2)] = Φ(3, 0) − [1 − Φ(2, 0)]

= Φ(3, 0) + Φ(2, 0) −1 = 0.99865 + 0.97725 − 1 = 0, 9759

(c) Pr(Z > −2)

Solução

Pr(Z > −2) = 1 − Pr(Z ≤ −2) = 1 − Pr(Z ≥ 2)

= 1− [1 − Pr(Z < 2)] = Pr(Z < 2) = Pr(Z ≤ 2) = Φ(2, 0) = 0.97725