Análise Dimensional E Semelhança

Análise dimensional e semelhança

Como poucos escoamentos podem ser solucionados com exatidão usando-se apenas

métodos analíticos, o resultado da mecânica dos fluidos tem dependido muito de

resultados experimentais. Em geral, a solução de problemas reais envolve uma

combinação de análise e informações experimentais.

Primeiro o escoamento real é representado por um modelo analítico (matemático)

simples o suficiente para fornecer uma solução. Em seguida, faz-se as medições

experimentais para verificar os resultados analíticos. Com base nos resultados verificase

o modelo analítico. O trabalho experimental é fundamental neste processo interativo

de ajuste. A análise dimensional é uma ferramenta importante para atingir este objetivo,

pois é um meio para simplificação de um problema físico empregando a homogeneidade

dimensional para reduzir o número das variáveis de análise. A análise dimensional é

particularmente útil para:

- Apresentar e interpretar dados experimentais;

- Resolver problemas difíceis de atacar com solução analítica;

- Estabelecer a importância relativa de um determinado fenômeno;

- Modelagem física.

A maioria dos fenômenos da mecânica dos fluídos depende, de maneira complexa, de

parâmetros geométricos e do escoamento.

Ex.: A força de arrasto sobre uma esfera lisa estacionária imersa numa corrente

uniforme. Como determinar a força de arrasto sobre a esfera? A força de arrasto pode

ser descrita como:

F= f (D, μ, ρ, V)

Onde:

D – diâmetro da esfera

μ – viscosidade do fluido

ρ – massa especifica do fluido

V – velocidade

Poderíamos estabelecer um procedimento experimental para determinação da

dependência de F em relação a V, D, ρ e μ. Para verificar como o arrasto, F, é afetado

pela velocidade do fluido, V, colocaríamos a esfera em um túnel de vento e mediríamos

F para uma faixa de valores de V. Em seguida faríamos mais testes para explorar o

efeito de D sobre F, utilizando esferas com D diferentes. Já estaríamos gerando uma

grande quantidade de dados: Se fizermos experimentos em um túnel de vento com 10

velocidades diferentes e 10 tamanhos de esferas diferentes teriam 100 pontos

experimentais. Para obter uma curva/gráfico F x V com 10 curvas, por exemplo,

gastaríamos um tempo razoável para obtenção dos dados, considerando em média 30

minutos por teste, gastaríamos em torno de 50 horas e ainda restariam algumas

medições.

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Mas através de dados para arrasto (analise dimensional) sobre uma esfera lisa podem ser

expressos como uma simples relação funcional entre dois parâmetros adimensionais na

forma:

Utilizaremos o teorema de Pi Buckingham, um procedimento formalizado para deduzir

grupos adimensionais apropriados para um dado problema de mecânica dos fluidos ou

outro problema de engenharia. O teorema pode à primeira vista parecer abstrato, mas

trata se de uma aproximação muito prática e útil.

Dado um problema físico, no qual o parâmetro dependente é uma função de n-1

parâmetros independentes, podemos expressar:

q1 = f(q2, q3, ......, qn)

onde q1 é o parâmetro dependente, e q2, q3, ......, qn , são os n-1 parâmetros independentes.

Os n parâmetros podem ser agrupados em n-m razões adimensionais independentes, ou

parâmetros ¶, expressos na forma funcional por

G(¶1, ¶2 , . . . . ., ¶n-m ) = 0

¶1 = G(¶2, ¶3 , . . . . ., ¶n-m )

O número m é em geral, mas não sempre, igual ao número mínimo, r, de dimensões

independentes necessárias para especificar as dimensões de todos os parâmetros.

Determinação dos Grupos ¶

Passo 1: Liste todos os parâmetros dimensionais envolvidos;

Passo 2: Selecione um conjunto de dimensões fundamentais (primárias) – MLt ou FLt;

Passo 3: Liste as dimensões de todos os parâmetros em termos das dimensões

primárias;

Passo 4: Selecione da lista um conjunto de r parâmetros dimensionais que inclua todas

as dimensões primárias;

Passo 5: Forme equações dimensionais, combinando os parâmetros selecionados no

passo 4 com cada um dos parâmetros remanescentes, um de cada vez, a fim de formar

grupos dimensionais (Haverá n-m equações);

Passo 6: Certifique –se que cada grupo obtido é adimensional.

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Semelhança

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Problemas em Engenharia (principalmente na área de Térmica e Fluidos) dificilmente

são