Aplicação Das Derivads

Aplicações das Derivadas no estudo das Funções

Máximo e mínimo locais

Para uma função f (x), dizemos que o ponto c é ponto de Maximo local (ou Maximo relativo) se o valor f (c) for o maior valor que a função assume para x numa vizinhança de c.

Para uma função f (x), dizemos que o ponto c é ponto mínimo local (ou mínimo relativo)se o valor f ( c) for o menor valor que a função assume para x numa vizinhança de c.

máximo e mínimo Globais

Para uma função f (x), dizemos que o ponto c é ponto de Maximo global (ou máximo absoluto ) se o valor f (c) for o maior valor que a função assume para todo o x do mínimo da função.De modo análago, para uma função f(X), dizemos que o ponto c é ponto de mínimo global(ou mínimo absoluto)se o valor f(C)for o menor valor que a função assume para todo x do mínimo da função.

Pontos onde a Derivação não Existe

Para um estudo mais completo de pontos de máximo e mínimo e pontos críticos é interessante notar situações onde a derivada não existe; em outras palavras, funções que apresenta em seu domínio pontos aonde as funções não é derivados .

Lembramos que a derivada de uma função f (X) em um ponto x = a é dada por

f^, (a)=lim┬(n→)⁡〖f ((a+b)-f( a))/h〗

E tal limite só existe, ou seja, a derivada no ponto só existe se os limites laterais resultarem em um mesmo numero.

Situações em que o limite resulta em +∞pode indicar graficamente reta vertical tangente a curva no ponto onde esta sendo calculado tal limite.

Derivada e Crescimento/Decrescimento de uma Função

Por exemplo, separa uma função f (X) a derivada no ponto x =2 resultar em f^,(2)=5,sabemos que é 5 a taxa de variação de f(x) em x=2,ou seja , um pequeno aumento em x próximo de x=2 acarreta um aumento de 5 vezes maior em f(X).Em outras palavras a função é crescente no ponto x =2, uma função é positiva em intervalos, então a função é crescente.

De modo se a derivada de função é negativa em um intervalo, então a função é decrescente.

Se f^,(X)>0 em um intervalo, então f(X)é crescente nesse intervalo

Sef^,(X)<0 em um intervalo, então f(X) é decrescente nesse intervalo.

Se f^,(X)=0 em um intervalo, então f(X) é constante nesse intervalo.

Pontos Críticos

Notamos que os pontos de máximo o mínimo ocorre em pontos especiais chamados de pontos críticos. Os pontos críticos não são apenas aquele onde ocorre o máximo ou o mínimo de uma função,logo, seu conceito é mais amplo:

Um ponto c é chamado ponto crítico se f^,( c ) = 0 ou se f^,( c ) não existir.

Assim, para encontrarmos pontos críticos devemos no domínio onde a derivada vale zero ou onde a derivada não existe.

Teste da Derivação Primaria

Para uma função continua, se em seu domínio existirem pontos de máximo local ou mínimo local, tais pontos serão pontos críticos.

Tal propriedade auxilia na elaboração de teste da derivada primeira que permite classificar se um ponto crítico é ou não ponto de máximo local ou mínimo local.

Nos pontos de teste onde Se f^,(X)>0 então f(X)é crescente

Sef^,(X)<0 então f(X) é decrescente.

Analisando o crescimento ou decrescimento de f(X) à esquerda e à direita de cada ponto critico concluímos que o ponto é:]

Maximo local: se nele a função passa de crescente para decrescente à medida que x aumenta. Ou seja, caminhando na reta numérica, da esquerda para direita, temos a derivada mudando de positiva para negativa.

Mínimo local: se nela a função passa de decrescente para crescente a medida que x aumenta ou seja caminhando na reta numérica, da esquerda para direita, temos a derivada mudando de negativa para positiva. Nem máximo nem mínimo local: Se antes e depois dele a função permanece crescente ou decrescente.ou seja, caminhando na reta numérica, temos a derivada com o mesmo sinal,positiva ou negativa, antes e depois do ponto crítico.

Função Polinominal

Para usarmos o teste da derivada primeira na busca de máximo ou mínimo de P(t)=t^3- 6t^2+9t+10, devemos primeiramente encontrar P^, (t ).

P (t )= t^3- 6 t^2 + 9t + 10

P^, ( t ) = 3 t^(3-1) – 6 .2t^(2-1)+ 9 +0

P^, ( t ) = 3 t^2 - 12 t + 9

Seguindo os passos da derivada primeira determinamos os pontos críticos de P(t) – resolvendo a equação P^, ( t )= 0 ou encontramos os pontos ondeP^, ( t ) não existe. Como a derivada P^,( t )= 3t^2-12t + 9

Existe para todo t real, os pontos críticos serão encontrados a partir de:

P^, ( t )= 0

3t^2 - 12t + 9 = 0

T = 1 ou t = 3

Ficando t=1 e t = 3 são os pontos críticos máximo e mínimo.

Marcamos os pontos críticos em uma reta onde t=1 e t= 3

Pontos Críticos

t

0 1 2 3 5

Pontos para Teste das Derivadas

A derivada de f (x ) é a derivada da derivada de f ( x ) ficando f^(,,) ( x ).

Exemplo:

F ( x )= x^4----- f^, ( x ) 5x^(4-1)------ f^,( x )= 5x^3

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