Aplicação De Limites (Cálculo 1)

1 - Funções Contínuas

Quando definimos 〖〖lim⁡〗┬(x→a) f〗⁡(x) analisamos o comportamento da função 〖 f〗⁡(x) para valores de x próximos de a, mas diferentes de a. Se f está definida em a e 〖〖lim⁡〗┬(x→a) f〗⁡(x) existe, pode ocorrer que este limite seja diferente de 〖 f〗⁡(a).

Quando 〖〖lim⁡〗┬(x→a) f〗⁡(x) = 〖 f〗⁡(a) diremos que f é contínua em a.

1.1 - Função Contínua em um numero a

Dizemos que uma função f é contínua no ponto a se as seguintes condições forem satisfeitas:

f é definida no ponto a;

〖〖lim⁡〗┬(x→a) f〗⁡(x) existe;

〖〖lim⁡〗┬(x→a) f〗⁡(x) = f⁡(a).

1.2 - Função Contínua em um intervalo aberto

Uma função real de variável real é contínua num intervalo aberto ]a,b[ do seu domínio, em que a < b com a, b ∈ R, se for contínua em todos os pontos desse intervalo.

1.3 - Função Contínua em um intervalo aberto

Uma função real de variável real é contínua num intervalo fechado [a,b] do seu domínio, em que a < b com a, b ∈ R, se for contínua no intervalo, contínua à direita de a e contínua à esquerda de b.

1.4 - Teorema do Valor Intermediário

Se f é contínua no intervalo fechado [a,b] e L é um número tal quef⁡(a)≤L ≤f(b) ou f⁡(b)≤L ≤f(a), então existe pelo menos um x ∈ [a,b] tal que f⁡〖(x)=L〗.

Consequência: Se f é contínua em [a,b] e se f⁡(a) e f⁡(b) tem sinais opostos, então existe pelo menos um número c entre a e b tal que f⁡(c)=0 .

2 - Funções Descontínuas

Se f não é contínua em a, dizemos que é descontínua em a, ou que tem uma descontinuidade em a.

2.1 – Descontinuidade Removível

Quando existe 〖〖lim⁡〗┬(x→a) f〗⁡(x), mas 〖 f〗⁡(x) não está definida em a.

Exemplo: A função f⁡(x)=x,x≠2 tem descontinuidade removível no ponto x=2 pois 〖〖lim⁡〗┬(x→2) 〗⁡x=2 e 〖 f〗⁡(x) não está definida no ponto x=2.

2.2 – Descontinuidade Tipo Salto

Uma função tem descontinuidade de salto em x = a, quando 〖 f〗⁡(x) varia abruptamente neste ponto (x=a).

Exemplo: A função f⁡(x)=(|x|)/x,x≠0 tem descontinuidade de salto no ponto x=0 pois 〖lim⁡〗┬(x→0^+ ) (|x|)/x=1 e 〖lim⁡〗┬(x→0^- ) (|x|)/x=-1. Neste caso, o salto é igual a 〖lim⁡〗┬(x→0^+ ) (|x|)/x – 〖lim⁡〗┬(x→0^- ) (|x|)/x = 1 – (-1) = 1+1 = 2.

2.3 – Descontinuidade Infinita

Uma função tem descontinuidade infinita em x = a, se 〖 f〗⁡(x) tende para infinito (positivo ou negativo) nesse ponto.

Exemplo: A função 〖 f〗⁡(x)=1/x,x ≠0 tem descontinuidade infinita no ponto x = 0 poi〖lim⁡〗┬(x→0^+ ) 1/x=+∞ e 〖lim⁡〗┬(x→0^- ) 1/x=-∞. Neste caso, o salto é igual a 〖lim⁡〗┬(x→0^+ ) 1/x – 〖lim⁡〗┬(x→0^- ) 1/x = +∞-(-∞) = +∞+∞ = +∞.

3 – Assíntotas

Dizemos que uma reta é uma assíntota de uma curva quando um ponto ao mover-se ao longo da parte extrema da curva se aproxima desta reta. Ou seja, a reta assintótica e a curva ficam arbitrariamente próximas à medida que se afastam da origem do sistema de coordenadas.

3.1 – Assíntota Vertical

Existem algumas funções racionais cujos gráficos se aproximam bastante de uma reta vertical, que é denominada assíntota vertical.

Exemplo: considere a função 〖 f〗⁡(x)=(x+3)/(x-2) cujo gráfico está descrito na figura abaixo.

Observe que existe uma “reta vertical imaginária” (definida por x = 2) tal que, quando a função se aproxima dessa reta, ela assume valores muito grandes positivos ou negativos. Indicamos tal fato escrevendo:

〖 f〗⁡〖(x)→ +∞〗: quando 〖 x〗⁡〖→ 〗 2^+ e 〖 f〗⁡〖(x)→ -∞〗: quando 〖 x〗⁡〖→ 〗 2^-

Assim, quando uma função racional 〖y= f〗⁡〖(x)=(g(x))/(h(x))〗 apresenta esse tipo de comportamento, dizemos que a função tem uma assíntota vertical em x = 2. Importante observar que x = 2 é uma raiz da função que está no denominador, ou seja, x = 2 é uma raiz de 〖 h〗⁡〖(x)= x-2〗 (a função não está definida para esse valor de x).

3.2 – Assíntota Horizontal

A existência de assíntotas horizontais depende do comportamento de uma função 〖y= 〗⁡f(x) para valores positivos grandes de x e valores negativos grandes de x〖 (x〗⁡〖→ 〗±∞).

Exemplo: considere a função 〖 f〗⁡(x)=(x+3)/(x-2) cujo gráfico está descrito na figura abaixo.

Observe que existe uma “reta horizontal imaginária” (definida por y = 1) para a qual a função se aproxima, quando x assume valores muito grandes positivos ou muito grandes negativos. Indicamos tal fato escrevendo:

〖 〖lim⁡〗┬█(x→± ∞) f〗⁡(x)=1

Assim, quando uma função racional 〖y= f〗⁡〖(x)=(g(x))/(h(x))〗 apresenta esse tipo de comportamento, dizemos que a função tem uma assíntota horizontal y=1.

3.3 – Assíntota Obliqua

Consideremos uma curva dada por 〖 f〗⁡(x) e uma reta de equação y=mx+b. Seja ainda D(y,f(x)) a distância entre o ponto (x,f(x)) e a reta y=mx+b que é dada por:

D(y,f(x))= (├|f(x)-mx-b)|)/√(1+m²)

Para que y seja uma assíntota oblíqua, devemos ter:

〖lim⁡〗┬█(x→+∞)= (├|f(x)-mx-b)|)/√(1+m²)=0 ou 〖lim⁡〗┬█(x→-∞)= (├|f(x)-mx-b)|)/√(1+m²)=0

Uma vez que o denominador é constante, estes limites só serão nulos somente se

〖lim⁡〗┬█(x→+∞)=[f(x)-mx-b]=0 ou 〖lim⁡〗┬█(x→-∞)=[f(x)-mx-b]=0

Destas igualdades podemos deduzir que se y=mx+b é uma assíntota, os coeficientes m e b podem ser calculados da seguinte maneira:

m=〖lim⁡〗┬█(x→+∞) (f(x))/x ou m=〖lim⁡〗┬█(x→-∞) (f(x))/x

b=〖lim⁡〗┬█(x→+∞) [f(x)-mx] ou b=〖lim⁡〗┬█(x→-∞) [f(x)-mx]

Caso estes limites existem, com m≠0, o cálculo de b passa a ser do mesmo jeito já definido anteriormente e usado, ou seja, b=〖lim⁡〗┬█(x→+∞) f(x) ou b=〖lim⁡〗┬█(x→-∞) f(x)

Exemplo: Neste caso a função f(x) possui assíntota oblíqua s: y = x.