Aplicação EDO

INTRUDUÇÃO

A matemática pura e aplicada é abrangida pelo campo das Equações Diferenciais, sendo utilizada em muitas carreiras acadêmicas como Física e Engenharia. Uma Equação Diferencial “[...] tem uma incógnita em função das respectivas derivadas, sendo frequentemente usada para descrever processos nos quais a mudança de uma medida ou dimensão é causada pelo próprio processo.” (GUERRINI et al., 2002).

Por existir inúmeras aplicações das equações diferenciais na física é que os cursos de Engenharia fazem uso intensivo delas, visto que essa disciplina esta presente na grade curricular dos cursos do país. Mas, mesmo assim, existe uma deficiência na conexão de seus conceitos, apesar destas disciplinas e suas aplicações na Engenharia estarem intimamente ligadas, principalmente os conceitos do eletromagnetismo e de circuitos elétricos. Por isso, esse trabalho traz a aplicação de equações diferenciais em circuitos elétricos.

Posterior a construção e entendimento dos conceitos de equações diferenciais, dá-se sequência à mecânica do trabalho com a construção dos conceitos de circuito elétricos.

Equações Diferenciais Ordinárias

Fenômenos físicos frequentemente envolvem relações entre uma variável independente x e uma variável dependente y, tais relações não são fáceis ou mesmo possíveis de serem descritas com uma função de variável independente.

y=f(x)

Às vezes podemos estabelecer a relação entre y e x através de seus valores e derivadas da função desconhecida: dy/dx.

Em circuitos elétricos, por exemplo, desejamos encontrar a tensão como uma função do tempo, v(t), que pode ser escrita como uma relação das derivadas de v no tempo e das propriedades do circuito.

Uma função expressa como uma função da variável independente x, da variável independente y e suas derivadas é dita equação diferencial.

As equações diferenciais ordinárias podem ser classificadas pela ordem e pela linearidade. A ordem de equação diferencial ordinária é a ordem da mais alta derivada presente na equação.

Circuitos Elétricos RLC

Desenvolvimento de EDO para descobrir a variação de tensão em um circuito elétrico RLC:

Os circuitos RLC são formados por resistores, indutores, capacitores e uma fonte energética. Para cada membro desse sistema, existe uma relação que pode alterar a variação da tensão elétrica. Para o cálculo de variação de tensão não ficar muito segmentado, é usado o artifício de EDO’S para a solução desses problemas.

Para a demonstração do cálculo, é necessário o conhecimento sobre alguns elementos básicos de eletricidade:

Lei das malhas: A soma algébrica das diferenças de potencial em uma malha é zero.

V1+V2+V3+⋯+Vn=0

A diferença de potencial entre um ponto A e B de um circuito, no qual exista uma fonte energética que gere um campo elétrico E(t), pode ser descrita como uma integral de linha sobre o segmento de reta S do campo elétrico E(t). A expressão pode ser verificada a baixo:

Vab= -∫▒E(t)dt= -V(t)

A intensidade da corrente elétrica será a taxa de variação de carga elétrica Q em relação ao tempo “t”. A expressão pode ser verificada a baixo:

I(t)= dQ/dt

A capacitância C de um capacitor submetido a uma carga elétrica Q, com uma diferença de potencial V entre dois pontos, será dado por:

C=Q/Vab

A primeira lei de Ohm, nos mostra que a diferença de potencial V entre dois extremos (c-d), de um resistor de resistência R, no qual é submetido a um fluxo de uma corrente I, é dada por: