Aproximação Do Movimento Ideal De Queda Livre A Partir De Uma Queda Real

ASSOCIAÇÃO EDUCACIONAL DOM BOSCO

FACULDADE DE ENGENHARIA DE RESENDE

CURSO DE ENGENHARIA PROD.METALURGICA

Relatório

Aproximação do movimento ideal de queda livre a partir de uma queda real

Introdução teórica

Queda Livre

Desde os tempos mais remotos o homem estuda os movimentos que ocorrem na natureza, e dentre todos sempre houve grande interesse pelo movimento de queda dos corpos quando são abandonados próximos à superfície da Terra. Se abandonarmos uma pedra de uma determinada altura, percebemos que seu movimento é acelerado, caso lancemos essa mesma pedra de baixo para cima percebemos que o movimento é retardado. Durante muito tempo esses movimentos foram objetos de estudo dos estudiosos. Por volta de 300 anos antes de Cristo, existiu um filósofo grego chamado Aristóteles que acreditava que se abandonássemos dois corpos de massas diferentes, de uma mesma altura, o corpo mais pesado tocaria o solo primeiro, ou seja, o tempo de queda desses corpos seriam diferentes. Essa crença perdurou por muitos anos sem que ninguém procurasse verificar se realmente o que o filósofo dizia era mesmo verdade.

Por volta do século XVII, o físico Galileu Galilei, ao introduzir o método experimental, chegou à conclusão de que quando dois corpos de massas diferentes, desprezando a resistência do ar, são abandonados da mesma altura, ambos alcançam o solo no mesmo instante. Conta a história que Galileu foi até o topo da Torre de Pisa, na Itália, e de lá realizou experimentos para comprovar sua afirmativa sobre o movimento de queda dos corpos. Ele abandonou várias esferas de massas diferentes e percebeu que elas atingiam o solo no mesmo instante. Mesmo após as evidências de suas experiências, muitos dos seguidores de Aristóteles não se convenceram, e Galileu foi alvo de perseguições em razão de suas ideias revolucionárias. É importante deixar claro que a afirmativa de Galileu só é válida para queda de corpos que estão no vácuo, ou seja, livre da resistência do ar ou no ar e com resistência desprezível. Dessa forma o movimento vertical de qualquer corpo que se move nas proximidades da superfície da Terra, sob a influência unicamente da sua força peso, é chamado movimento de queda livre.

Fig 1mostrando ambas as situações de queda livre

Nessas condições, todos os corpos se movem com a mesma aceleração constante de módulo g = 9,81 m/s². Em outros termos, o movimento de queda livre é um MRUV com direção vertical e uma aceleração de módulo g = 9,81 m/s². Consideremos um corpo abandonado de certa altura nas proximidades da superfície da Terra. Devido à resistência do ar, sempre existe, sobre esse corpo, uma força de arraste. Quanto menor o módulo dessa força de arraste, comparado com o módulo da força peso do corpo, mais próximo de um movimento de quede livre é o movimento do corpo. Dito de outro modo, o movimento de queda livre é uma idealização, ou seja, um modelo, que pode descrever o movimento de um dado corpo real de modo mais ou menos realista, conforme a importância do módulo da força dearraste comparado com o módulo da força peso do corpo. Por exemplo, o modelo de queda livre é bastante realista para uma pequena esfera de aço abandonada de uma altura de 2m, mas não é para uma bolinha de pingue-pongue abandonada da mesma altura. Aqui é interessante observarmos o seguinte. Pela definição dada acima, não apenas corpos que se movimentam de cima para baixo,mas também corpos lançados de baixo para cima, nas proximidades da superfície da Terra, podem ter um movimento de queda livre, desde que o movimento seja vertical e a aceleração seja constante e de módulo g = 9,81 m/s².

Exemplo

Uma pedra é lançada numa direção vertical, de baixo para cima, a partir do solo, com velocidade inicial de módulo igual a 20 m/s num referencial fixo na Terra. O movimento da pedra é vertical e, portanto, ocorre

em apenas uma dimensão. Por isso, para descrever esse movimento, podemos considerar, como sistema de referência, um único eixo fixo na Terra, orientado de baixo para cima e com origem no ponto de lançamento, ou seja, no solo. Como já discutimos acima para o caso de uma pequena esfera de aço,

também para uma pedra o modelo de queda livre deve ser bastante realista, de modo que podemos considerar a aceleração da pedra como sendo:

a = − g = −9,8 m/s² ≈ −10 m/s²

Aqui, cabem dois comentários. O primeiro se refere ao sinal negativo, que vem do fato de termos escolhido como referencial um eixo orientado para cima e a aceleração gravitacional está dirigida para baixo. O segundo se refere à aproximação g ≈ 10 m/s², utilizada unicamente para facilitar os cálculos.

Podemos calcular o tempo gasto pela pedra para alcançar o ponto mais alto de sua trajetória notando que, neste ponto, a sua velocidade é nula. Então, pela equação horária da velocidade no MRUV:

v(t) = v(0) + at

segue-se que:

t= v(0) = - 20m/s = 2s

a (-10m/s²)

Com esse dado podemos calcular a altura máxima atingida pela pedra. Assim, pela equação horária da posição no MRUV:

y(t) = y(0) + v(0)t + ½ at²

segue-se que:

hmax = v(0)t + ½ at² = ( 20 m/s )( 2s ) + ½ (− 10 m/s²)( 2s )² = 20 m

O movimento de queda livre é um movimento simétrico, isto é, o tempo de subida do corpo é igual ao tempo de descida e quando o corpo passa pelo mesmo ponto, as velocidades de subida e de descida têm mesmos módulos e mesmas direções, mas sentidos contrários. Para discutir essas afirmações, consideremos a condição y(t) = y(0). Esta condição identifica a posição no instante t com a posição de lançamento. Portanto, essa condição permite determinar o tempo total associado ao movimento de queda

livre, ou seja, o tempo que a pedra leva para retornar ao ponto de lançamento. Assim, a equação horária