Atividades de números complexos

Portfólio 02

1. (2) Verifique que [pic 1] e que [pic 2].

• (1-i)4=-4

(1-i)². (1-i)²=

(1-2i+i²) . (1-2i-1)=

(1-2i-1).(1-2i-1)=

(-2i).(-2i)=

4i²=4.(-1)= -4

• (i-1)(i-2)(i-3)-10i

(i²-2i-i+2).(i-3)=

(-1-3i+2).(i-3)=

(1-3i).(i-3)=

i-3-3i²+9i=

i-3+3+9i=10i

1. (4) Para cada número natural [pic 3], existem únicos [pic 4], inteiros não-negativos e tais que [pic 5] e [pic 6].Prove que [pic 7].

[pic 8]n=4q+r , dai, [pic 9]

Ou seja: [pic 10]

3. (5) Coloque na forma algébrica o número [pic 11]

[pic 12]

 

Note: [pic 13]

Portanto: [pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

4. (7) Qual é o resultado da simplificação de [pic 18]?

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

                                  = -5[pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

5. (8) A igualdade [pic 33] verifica-se para os números naturais divisíveis por qual número natural?

(1+i)4

[pic 34]

[1+2i+i²]²

(2i)²=-4

 (1-i)4

[(1-i)²]²

[1-2i+i²]²

(-2i)²=-4

6. (10) Qual é a condição para que o produto de dois números complexos [pic 35] e [pic 36]dê um número real?

Pela definição: chama se real todo número complexo que a parte imaginaria é nula.

Assim, z=x+0i=x (parte real)

Portanto:

(a+bi).(c+di)=(ac+adi+bci+bdi²) ➔ ac+adi+bci+bd(-1)= ac-bd + (ad+bc).1 ➔ ad+bc=0

7. (13) Determine [pic 37] para que [pic 38] seja um imaginário puro.

      .      ➔    =    =+(  =[pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46]

➔ [pic 47]

8. (15) Mostre que [pic 48] ou zero, conforme o resto da divisão de [pic 49]por [pic 50] seja zero, 1, 2 ou 3, respectivamente.

Se 4│N então N = 4m,[pic 51]

Fazendo m = k+1, temos;[pic 52]

N = 4m = 4(k+1) = 4k + 4

[pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

                         0                                  0

Quando  N = 4m+1,[pic 56]

Fazendo m = k+1, temos;[pic 57]

N = 4m+1 = 4(k+1) +1= 4k + 5

[pic 58]

Quando  N = 4m+2,[pic 59]