Atps Fisica I

Passo 1

Explique e de exemplos de funções continuas e descontinuadas:

Função Contínua e Descontinua:

Consideramos as funções f e g, reais de variável real, definidas pelos seus gráficos (abaixo). De um modo intuitivo, somos levados a dizer que a função f é contínua: o seu gráfico pode desenhar-se sem levantar o lápis do papel. No caso da função g, para desenhar o gráfico, temos de dar um salto no ponto correspondente a x=0. Somos levados a dizer que a função g não é continua no ponto x=0 ou que 0 é um ponto de descontinuidade da função.

Intuitivamente, ainda, vemos que a função h não é continua no ponto x=3. Ela seria continua se a imagem de 3 estivesse no <<ponto certo>>, de modo que o gráfico da função fosse a parábola completa, o que corresponderia ao valor da função para x=3 ser igual ao limite da função quando x tende para 3. Também a função m não é continua no ponto x=2 e vemos que não existe o limite da função quando x tende para 2.

Passo 2

Limites:

(1)- Conceitue Limite de uma variável e dê exemplo:

Seja D um subconjunto de C, z0 um ponto de acumulação de D e uma função f:D C. O número complexo L é o limite de f quando z tende a z0 se, dado qualquer E>0, existe um número positivo d>0 sendo d=d(e, z0) tal que:

Se 0<|z- z0| <d então |f(z) - L| <e

Denotamos este fato por:

Lim f(z) = L

z z0

Em palavras, a definição acima afirma que, uma função f=f(z) tem limite L quando z está se aproximando de z0, se a distância entre f(z) e L for arbitrariamente pequena quando z estiver sucientemente proximo de z0.

Observe que, na definição acima não se exige que a função esteja definida no ponto z=z0 para que o limite lim f(z) exista.

z z0

A noção de limite de uma função em um ponto z0 diz respeito ao comportamento da função nos pontos próximos a z0 e não necessariamente no próprio z0.

Exemplo 1: Seja f(z)=4z-2. Com a definição de limite, podemos mostrar que

L=lim (4z-2) = 2

z 1

Tomando E>0, é possível contruir d=e/4>0 de modo que se 0<|z-1|<d então:

|f(z)-2| = |(4z-2)-2| = |4z-4| = 4|z-1| < 4d = e

Exemplo 2: A função f(z)=(z²+1)/(z-i) não está definida para z=i, mas

De fato, como z = i podemos simplificar a função f=f(z) de modo que possa ser escrita na forma f(z)=(z²+1)/(z-i)=z+i

Desse modo, |f(z)-2i|=|(z+i)-2i|=|z-i|. Assim, para todo E>0, obtemos para 0<|z-i|<d que d=e.

|f(z)-2i| = |z-i| < e

(2)- Conceitue e de exemplo de Limite de uma função:

-Dada a função y = f(x), definida no intervalo real (a, b), dizemos que esta função f possui um limite finito L quando x tende para um valor x0, se para cada número positivo ε , por menor que seja, existe em correspondência um número positivo δ , tal que para |x - x0| <δ , se tenha |f(x) - L | <ε , para todo x ¹ x0 . Indicamos que L é o limite de uma função f( x ) quando x tende a x0 , através da simbologia abaixo: lim f(x) = Lx® x0

Exemplos:

Utilize a definição de limite vista acima, para provar que: lim(x + 5) = 8 x® 3. Temos no caso: f(x) = x + 5 x0 = 3L = 8. Com efeito, deveremos provar que dado um e > 0 arbitrário, deveremos encontrar um δ > 0, tal que, para |x - 3| < δ , se tenha |(x + 5) - 8| < δ . Ora, |(x + 5) - 8| < δ é equivalente a x - 3 | < e. Portanto, a desigualdade |x - 3| < δ , é verificada, e neste caso δ = δ. Concluímos então que 8 é o limite da função para x tendendo a 3 ( x δ 3) .

(3)- Cite as propriedades dos Limites e de exemplos:

1ª)

O limite da soma é a soma dos limites.

O limite da diferença é a diferença dos limites.

Exemplo:

2ª)

O limite do produto é o produto dos limites.

Exemplo:

3ª)

O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero.

Exemplo:

4ª)

Exemplo:

5ª)

Exemplo:

6ª)

Exemplo:

7ª)

Exemplo:

8ª)