Atps Limite

LIMITES – UM POUCO DE HISTORIA

Limites nos apresentam um grande paradoxo. Todos os principais conceitos do cálculo derivada, continuidade, integral, convergência/divergência – são definidos em termos de limites.

Limite é o conceito mais fundamental do Cálculo; de fato, limite é o que distingue, no nível mais básico, o cálculo de álgebra, geometria e o resto da matemática. Portanto, em termos do desenvolvimento ordenado e lógico do cálculo, limites devem vir primeiro. Porém, o registro histórico é justamente o oposto. Por vários séculos, as noções de limite eram confusas, com ideias vagas e algumas vezes filosóficas sobre o infinito (números infinitamente grandes e infinitamente pequenos e outras entidades matemáticas) e com intuição geométrica subjetiva e indefinida. O termo limite em nosso sentido moderno é um produto do iluminismo na Europa no final do século XVIII e início do século XIX, e nossa definição moderna tem menos de 150 anos de idade. Até este período, existiram apenas raras ocasiões nas quais a ideia de limite foi usada rigorosamente e corretamente.

A primeira vez que limites foram necessários foi para a resolução dos quatro paradoxos de Zenão (cerca de 450 a.C.). No primeiro paradoxo, a Dicotomia, Zenão colocou um objeto se movendo uma distância finita entre dois pontos fixos em uma série infinita de intervalos de tempo (o tempo necessário para se mover metade da distância, em seguida o tempo necessário para se mover metade da distância restante, etc.) durante o qual o movimento deve ocorrer. A conclusão surpreendente de Zenão foi que o movimento era impossível! Aristóteles (384-322 a.C.) tentou refutar os paradoxos de Zenão com argumentos filosóficos. Em matemática, uma aplicação cuidadosa do conceito de limite resolverá as questões levantadas pelos paradoxos de Zenão.

Para suas demonstrações rigorosas das fórmulas para certas áreas e volumes, Arquimedes (287- 212 a.C.) encontrou várias séries infinitas – somas que contêm um número infinito de termos. Não possuindo o conceito de limite propriamente dito, Arquimedes inventou argumentos muito engenhosos chamados de redução ao absurdo duplo, que, na verdade, incorporam alguns detalhes técnicos do que agora chamamos de limites.

O Cálculo é também algumas vezes descrito como o estudo de curvas, superfícies e sólidos. O desenvolvimento da geometria destes objetos floresceu seguindo a invenção da geometria analítica por Pierre Fermat (1601-1665) e René Descartes (1596-1650). A geometria analítica é, essencialmente, o casamento da geometria com a álgebra, e cada uma melhora a outra.

Fermat desenvolveu um método algébrico para encontrar os pontos mais altos e mais baixos sobre certas curvas. Descrevendo a curva em questão por uma equação, Fermat chamou um número pequeno de E, e então fez alguns cálculos algébricos legítimos, e finalmente assumiu E = 0 de tal maneira que todos os termos restantes nos quais E estava presente desapareceriam! Essencialmente, Fermat colocou de lado o limite com o argumento que E é "infinitamente pequeno". Geometricamente, Fermat estava tentando mostrar que, exatamente nos pontos mais altos e mais baixos ao longo da curva, as retas tangentes à curva são horizontais, isto é, têm inclinação zero.

Encontrar retas tangentes a curvas é um dos dois problemas mais fundamentais do cálculo. Problemas envolvendo tangentes são uma parte do que chamamos agora de estudo das derivadas. Durante o século XVII, vários geômetras desenvolveram esquemas algébricos complicados para encontrar retas tangentes a certas curvas.

Descartes desenvolveu um processo que usava raízes duplas de uma equação auxiliar, e essa técnica foi melhorada pelo matemático Johan Hudde (1628-1704), que era também o prefeito de Amsterdam. René de Sluse (1622-1685) inventou um método ainda mais complicado para obter tangentes a curvas. Em cada um desses cálculos, o limite deveria ter sido usado em alguma etapa crítica, mas não foi. Nenhum destes geômetras percebeu a necessidade da ideia de limite, e assim cada um encontrou uma maneira inteligente para alcançar seus resultados, os quais estavam corretos, mas com meios que, agora reconhecemos, faltam fundamentos rigorosos.

Determinar valores exatos para áreas de regiões limitadas, pelo menos em parte, por curvas é o segundo problema fundamental do cálculo. Estes são chamados freqüentemente de problemas de quadratura, e, intimamente relacionados a eles, estão os problemas de cubatura - encontrar volumes de sólidos limitados, pelo menos em parte, por superfícies curvas. Eles nos levam a integrais.

Johannes Kepler (1571-1630), o famoso astrônomo, foi um dos primeiros estudiosos dos problemas de cubatura. Bonaventura Cavalieri (1598-1647) desenvolveu uma teoria elaborada de quadraturas. Outros, tais como Evangelista Torricelli (1608-1647), Fermat, John Wallis (1616-1703), Gilles Personne de Roberval (1602-1675), e Gregory St. Vincent (1584-1667) inventaram técnicas de quadratura e/ou cubatura que se aplicam a curvas e sólidos específicos ou famílias de curvas. Mas nenhum deles usou limites! Seus resultados eram quase todos corretos, mas cada um dependia de um malabarismo algébrico ou apelavam para intuição geométrica ou filosófica questionável em algum ponto crítico. A necessidade de limites não era reconhecida.

Em quase todos os seus trabalhos que agora são considerados como cálculo, Isaac Newton (1642-1727), também não reconheceu o papel fundamental do limite. Para

séries infinitas, Newton raciocinou meramente por analogia: se fosse possível executar operações algébricas em polinômios, então seria possível fazer o mesmo com o número infinito de termos de uma série infinita. Newton calculou o que ele chamou de flúxions a curvas, não exatamente derivadas, mas muito próximo. O processo que ele usou para esses cálculos era muito próximo do método de Fermat. Neste e na maioria dos outros trabalhos comparáveis, Newton negligenciou o limite.

Por outro lado, em seu Principia Mathematica (1687), talvez o maior trabalho em matemática e ciência, Newton foi o primeiro a reconhecer que o limite deve ser o ponto de partida para problemas de tangência, quadratura e afins. No início do Livro I do Principia, Newton tentou dar uma formulação precisa do conceito de limite:

Quantidades, e as razões de quantidades, as quais em qualquer tempo finito convergem continuamente para igualdade, e antes do final daquele tempo se aproximam entre si por qualquer dada diferença, tornam-se iguais no final.

Existiram críticas sobre esta afirmação e sobre a discussão que a seguiu, notadamente por George Berkeley (1685-1753). Mas a genialidade de Newton tinha descoberto o papel fundamental