Atps Matematica

Etapa 3 atps matemática

Tem-se que a função lucro da empresa é dada por:

L(x) = -x² + 90x - 1.400

Antes, vamos descobrir quais são as raízes dessa equação do 2º grau e, em seguida, estudar a variação de sinais da equação.

Se você aplicar Bháskara, você encontrará as seguintes raízes:

x' = 20

x'' = 70

Agora veja que a nossa função L(x) = -x² + 90x - 1.400 tem o termo "a" negativo (o termo "a" é o coeficiente de x²). Nesse caso, a variação de sinais da equação acima dar-se-á da seguinte forma:

-x²+90x-1.400...- - - - - (20)+++++++++(70)- - - - - - - - - -

Veja que a função acima só é positiva entre 20 e 70. Em "x" = 20 e em "x" = 70, a função é zero. Mas entre 20 e 70, a função é positiva. E, para qualquer outro valor fora desse intervalo, a função é negativa.

Então, a empresa só terá lucro se vender os seus produtos por um preço que esteja dentro do intervalo de 20 a 70.

Bem, dito isso, vamos às questões dadas:

a) Haverá lucro se o preço for x = 20 . FALSA, pois se x = 20 o lucro será igual a zero.

b) E se o preço for x = 70 haverá lucro. FALSA, pois se x = 70 o lucro também será igual a zero.

c) O que acontece quando x = 100?

Se x = 100, como vimos acima, a empresa terá prejuízo, pois o lucro passará a ser negativo. Lembre que foi visto acima que a empresa só terá lucro se o preço estiver entre 20 e 70.

d) esboce o gráfico dessa função.

Como aqui no Yahoo não dá para esboça gráficos, então veja o gráfico da função no endereço abaixo:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=L%2…

Observe, a propósito, que o gráfico corta o eixo dos "x" exatamente no local das raízes da equação (x' = 20 e x'' = 70).

e) A empresa deverá cobrar quanto para ter o lucro máximo? E qual é esse lucro máximo?

Veja que o valor de "x" que vai dar o lucro máximo será o "x" do vértice da parábola, que é encontrado pela seguinte fórmula:

xv = -b/2a

A propósito, veja que a nossa equação tem os seguintes coeficientes:

a = -1 ----------(é o coeficiente de x²)

b = 90 ---------(é o coeficiente de x)

c = -1.400 ----(é o termo independente).

Então, o valor de "x" que dará o lucro máximo será:

xv = -b/2a ---------fazendo as devidas substituições (vide coeficientes acima), temos:

xv = -90/2*(-1)