Atps Matemática Aplicada

Atps Matemática Aplicada

Etapa 1 – Passo 1

Estudo da função do primeiro grau: aplicações ao custo, receita e lucro de uma empresa

Função do primeiro grau

A função do 1° grau relacionará os valores numéricos obtidos de expressões algébricas do tipo (ax + b), constituindo, assim, a função f(x) = ax + b.

Para definir a função do 1° grau, basta haver uma expressão algébrica do 1° grau. O objetivo da função é relacionar para cada valor de x um valor para o f(x). Vejamos abaixo, um exemplo para a função f(x)= x – 2:

x = 1, temos que f(1) = 1 – 2 = –1

x = 4, temos que f(4) = 4 – 2 = 2

Os valores numéricos mudam conforme o valor de x é alterado, sendo assim obtemos diversos pares ordenados, constituídos da seguinte maneira: (x, f(x)). Veja que para cada coordenada x, iremos obter uma coordenada f(x). Isso auxilia na construção de gráficos das funções.

Veremos abaixo um exemplo cotidiano de aplicação de uma função do primeiro grau.

Exemplo:

Na produção de peças, uma fábrica tem um custo fixo de R$ 16,00 mais um custo variável de R$ 1,50 por unidade produzida. Sendo x o número de peças unitárias produzidas, determine:

a) A lei da função que fornece o custo da produção de x peças;

b) Calcule o custo de produção de 400 peças.

Solução:

a) Custo fixo mais custo variável que é dado pela função f(x) = 1,5x + 16

b)

Substituímos o x pelo valor de 400 que é a quantidade de peças. Então, temos:

f(x) = 1,5x + 16

f(400) = 1,5*400 + 16

f(400) = 600 + 16

f(400) = 616

O custo para produzir 400 peças será de R$ 616,00.

Aplicações de uma função de primeiro grau

As funções do tipo f(x) = y = ax + b, com a e b números reais e a ≠ 0, são consideradas do 1º grau. Ao serem representadas no plano cartesiano, constituem uma reta crescente ou decrescente. E no caso de a = 0, a função é chamada de constante.

Uma função possui pontos considerados essenciais para a composição correta de seu gráfico, e um desses pontos é dado pelo coeficiente linear da reta representado na função pela letra b, que indica por qual ponto numérico a reta intercepta o eixo das ordenadas (y).

Abaixo temos um exemplo de gráfico onde o valor numérico do coeficiente linear representa o gráfico da função:

y = x +1; b=1

Determinando uma função afim por dois pontos

Para determinar a função que passa por dois pontos. Para isso, precisamos encontrar as coordenadas destes dois pontos, sendo que a coordenada y’ é determinada pelo valor da função na coordenada x’ (x1, f(x1)), (x2, f(x2)).

Pela definição de função afim, temos que ela é determinada pela seguinte expressão f(x)=ax+b, ou seja, para determinar tal função, basta encontrarmos os coeficientes a, b. Veremos que para descobrir

estes coeficientes precisamos apenas de dois pontos e o valor da função nesses pontos.

Com f(1)=4 e f(2)=6, temos, então, dois pontos e os valores da função nestes pontos.

Para f(1) temos: f(1) = 4 = a.1+b; para f(2) temos: f(2) = 6 = a.2+b

6=2a+b (-), se subtrairmos uma igualdade da outra, teremos o seguinte resultado:

4=a+b

2=a, ou seja, a é igual a 2. Descobrimos o valor de um dos coeficientes. Para encontrarmos o outro, basta substituirmos o resultado em uma das igualdades. Usaremos a segunda:

4=a+b

como a=2 teremos , 4=2+b assim teremos, b=2

Como f(x)=ax+b e a=2 e b=2, temos que esta função, para f(1)=4 e f(2)=6, será a seguinte:

f(x)=2x+b.

Mas este é o processo realizado para um caso específico. Como seria a expressão para determinarmos os valores dos coeficientes de qualquer função? Veremos agora.

Seja y1=f(x1) e y2=f(x2), sendo estes pontos, pontos distintos. Teremos que a expressão destes pontos será dada da seguinte forma: y1=f(x1)=ax1+b

y2=f(x2)=ax2+b, faça a subtração da expressão debaixo pela de cima.

Função crescente e decrescente

As funções que são expressas pela lei de formação y = ax + b ou f(x) = ax + b, onde a e b pertencem ao conjunto dos números reais, com a ≠ 0, são consideradas funções do 1º grau. Esse tipo de função pode ser classificada de acordo com o valor do coeficiente a, se a > 0, a

função é crescente, caso a < 0, a função se torna decrescente.

Vamos analisar as seguintes funções f(x) = 3x e f(x) = –3x, com domínio no conjunto dos números reais, na medida em que os valores de x aumentam

f(x) = 3x f(x)= -3x

Etapa 1 – Passo 2

A Empresa escolhida foi Alfa Dez Produções de camisetas – SP, onde o custo para produção de camisetas é relativo a quantidade vendida. Temos abaixo a seguinte relação:

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Quantidade (q) 0 10 20 30 40 80 160 200

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Custo (c) 6 60 120 180 240 480 960 1200

M= variação em C = 6 variação em Q

Podemos então com base nesse exemplo, determinar a seguinte função para representar a produção da empresa:

C= 6Q + 6

Etapa 1 – Passo 3

* C= cf + cv – C= 6q +6.

* R= p . q, portanto, R = 10.q onde o preço