Atps Matemática Aplicada

Etapa 1

Passo 1

Conceito de derivadas e algumas aplicações.

O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação instantânea de uma função, o qual está presente no cotidiano das pessoas, através da determinação da taxa de crescimento de uma certa população, da taxa de crescimento econômico do país, da taxa de redução da mortalidade infantil, da taxa de variação de temperaturas, da velocidade de corpos ou objetos em movimento, enfim, poderíamos ilustrar inúmeros exemplos que apresentam uma função variando e que a medida desta variação se faz necessária em um determinado momento. A derivada é a inclinação do gráfico de uma dada função, para um dado valor de x. Também pode ser interpretada como o quanto y varia em função de x. No caso da reta, a inclinação não varia em função de x, pois é constante por todo o gráfico (em retas, a derivada é constante e corresponde ao coeficiente angular). Em funções que não são retas, a derivada depende do valor de x.

A primeira e mais clássica aplicação da derivada é a velocidade instantânea de um corpo. Se é dada a função que descreve a posição de um corpo em função do tempo, a derivada dessa função corresponde à velocidade do corpo naquele instante de tempo (lembra que a velocidade é a variação de espaço dividido pela variação de tempo, e a derivada de y com relação a x é o quanto y varia em função de x). Fica claro que a derivada da posição de um corpo é a velocidade. Tal noção é intuitiva, pois se o gráfico da posição em função do tempo é muito inclinado há uma grande variação de espaço por unidade de tempo, ou seja, o módulo da velocidade é alto.

Exemplos:

f(x)= x^3

f(x)= x^(3 )→ 〖3x〗^(3-1)→f^' (x)= 〖3x〗^2

Passo 2

Derivada da função f(x):7x

• Ao derivarmos a função f(x), a derivada necessariamente será f’(x);

• A derivada de constante é zero;

• A derivada de uma incógnita elevada a 1 sempre será um, por exemplo:

f (x)= 7 x

f^' (x)=7.1 x^(1-1)

f^' (x)=7 x^0

f^' (x)= 7.1

f^' (x)= 7

Passo 3

Exemplo 1:

Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16 m de altura e um a base com 4 m de raio. A água “flui” no tanque a uma taxa de 2 m3/min. Com que velocidade o nível da água estará se elevando quando sua profundidade for de 5 m?

Solução:

Seja t o tempo medido em minutos decorridos desde que a água começou a fluir dentro do tanque; h a altura em metros do nível de água em t min; r a medida em metros do raio da superfície da água em t min; e V a medida, em metros cúbicos, do volume de água no tanque em t min. Em qualquer instante, o volume de água no tanque pode ser expresso em termos do volume do cone:

Exemplo 2:

A maneira genérica de representar uma quantidade fracionada, o que nos leva a uma quantidade dentro de diversos conteúdos é a taxa ou relação; de maneira efetiva temos um total "x" de porções "T" em "n" recipientes, esta simples representação mostra como uma taxa é estabelecida:

A taxa é uma relação linear, que pressupõe o comportamento de dependência direta entre os termos; se tivéssemos que representar esta taxa em um gráfico, onde variássemos a quantidade de recipientes "n" e calculássemos o valor de "x", mantendo "T" constante, teríamos uma reta. É plausível pensar que a taxa "T" é constante, porém na natureza e no nosso cotidiano encontramos situações que raramente mostram a constância que observamos nesta equação, o mais comum é que tenhamos uma taxa diferente para cada situação em que nos deparamos.

Um caso típico, é a medida de velocidade de um corpo em movimento, se imaginarmos um carro andando pelas ruas de uma cidade, é impossível visualizar uma situação em que o carro tenha que se manter em velocidade constante por todo tempo que se mova a fim de chegar a seu destino. Uma vez que temos um ponto inicial Si e um final Sf,, além de um instante inicial ti e um final tf, também podemos calcular a velocidade média desenvolvida pelo veículo neste trajeto, que é:

Agora imagine que tenhamos que medir tempos e distâncias cada vez menores, o que nos levaria a medir quase que instantaneamente os valores, então teríamos uma medida instantânea da velocidade, isto é equivalente a fazer com que o valor de ∆t se aproxime de zero:

Isto não nos lembra algo conhecido? Exatamente, uma derivada; a velocidade medida a cada instante é uma taxa tomada quando os tempos de medição se aproximam do limite entre um e outro, então teremos o valor da velocidade para cada instante, tal qual teríamos se estivéssemos observando o velocímetro do carro...

A constatação acima nos fornece um meio de calcular, a partir de valores sugeridos, o valor da velocidade instantânea, precisamos apenas da função "s" em função do tempo, depois podemos obter a derivada de "s" com relação a "t" e teremos:

Que é a velocidade instantânea de qualquer corpo que tenha seu deslocamento expresso pela função S(t), todos os movimentos que um corpo físico pode desenvolver podem ser expressos sob este método de cálculo, uma vez que qualquer curva de deslocamento pode ser lançada na fórmula da derivada, podendo ser calculada em seguida.

Podemos ainda fazer o cálculo da aceleração do mesmo corpo:

Note que ao derivarmos a função S(t), duas vezes estamos criando uma derivação dupla, que podemos simbolizar desta forma:

Esta expressão também é conhecida como "derivada segunda da função", o termo "segunda"