Autocorrelação Dos Resíduos

Propriedades dos MQO com erros serialmente correlacionados

Vimos que tanto a heterocedasticidade quanto a autocorrelação não afetam o viés e a consistência dos MQO, mas afetam a eficiência - os MQO não serão mais BLUE, e os testes de t e F (e os desvios padrões) não serão mais válidos.

b = (X’ X)-1 X’ Y

b = (X’ X)-1 X’ (Xb + e)

b = (X’ X)-1 X’ Xb + (X’ X)-1 X’ e

b = b + (X’ X)-1 X’ e

E[b] = E[b + (X’ X)-1 X’ e]

E[b] = b + (X’ X)-1 X’ E[e]

E[b] = b  se X for completamente independente dos erros (em todos os períodos de tempo), o que é difícil de acontecer em Séries Temporais.

E[eX] = 0 para t=1,2,......n (exogeneidade forte)

E[etXt] = 0  exogeneidade fraca ou contemporânea  com isso só conseguimos provar consistência.

Qualquer variável omitida que seja correlacionada com alguma variável incluída na matriz X em algum período de tempo já não traz mais ausência de viés.

Exemplo:

taxa de homicídiost = 1 +2 policiais per capitat + t

Supor que t seja não correlacionado com os valores presentes e passados de policiais per capita (para simplificar). Mas supor que a cidade ajuste a sua força policial baseada nos valores da taxa de homicídios passada (ano anterior por exemplo). Desse modo, policiais per capitat+1 estará correlacionada com t.

taxa de homicídiost = 1 +2 policiais per capitat + t

policiais per capitat+1 = 1+ 2 taxa de homicídiost + vt+1

Obs: as equações acima ilustram um caso de simultaneidade!

Substituindo:

policiais per capitat+1 = 1+ 2 (1 +2 policiais per capitat + t) + vt+1

Podemos observar que t é parte de policiais per capitat+1. Ou seja o erro é correlacionado com valores futuros da variável explicativa.

Mas não conseguimos provar que policiais per capitat está correlacionada com t (período presente) t-1, t-2 (períodos passados), etc

policiais per capitat-1 = 1+ 2 taxa de homicídiost-2 + vt-1



inclui o t-2

policiais per capitat = 1+ 2 taxa de homicídiost-1 + vt-1



inclui o t-1

Ou seja, o período presente está correlacionado com erros passados, mas não podemos provar que está correlacionado com o erro presente.

Exemplo:

Função de produção agrícola numa fazenda  o fazendeiro pode ajustar