Binomio De Newton

4 – APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES

4.1- INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL

Introdução: A interpolação

Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por uma outra

função g(x), escolhida entre uma classe de funções definida a priori e que satisfaça algumas

propriedades. A função g(x) é então usada em substituição à função f(x).

A necessidade de se efetuar esta substituição surge em várias situações, como por

exemplo:

a.) quando são conhecidos somente os valores numéricos da função para um

conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não

tabelado;

b.) quando a função em estudo tem uma expressão tal que operações como a

diferenciação e a integração são difíceis (ou mesmo impossíveis) de serem

realizadas.

4.1.1- Interpretação geométrica

Consideremos (n +1 ) pontos distintos: x0

, x1

, ... , xn

, chamamos nós da

interpolação, e os valores de f(x) nesses pontos: f(x0), f(x1), ..., f(xn).

A forma de interpolação de f(x) que veremos a seguir, consiste em se obter uma

determinada função g(x) tal que:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ï

ï

ï

ï

î

ï ï ï ï

í

ì

=

× ×

× ×

× ×

=

=

=

n n

2 2

1 1

0 0

g x f x

g x f x

g x f x

g x f x

Geometricamente, um esboço da interpolante g(x) sobre a função f(x) é visto na

figura 3.1.

Em particular, se g(x) = Pn(x), onde Pn é um polinômio de grau n, então a

interpolação é denominada de interpolação polinomial.

Observamos que:

i.) existem outras formas de interpolação polinomial como, por exemplo, a

fórmula de Taylor, a interpolação por polinômios de Hermite e do tipo

“spline”, para as quais as condições são outras;

ii.) Assim como g(x) foi escolhida entre as funções polinomiais, poderíamos

ter escolhido g(x) como função racional, função trigonométrica, etc. Um

69

caso que explora combinaçãoes de funções trigonométricas, em campo real

ou complexo, é o aproximante definido a partir da série de Fourier;

iii.) existe também o caso polinomial não interpolante, tal como, o aproximante

de funções por mínimos quadrados.

Em qualquer um dos casos citados, estes encontram-se inseridos em um tópico

mais geral chamado aproximação de funções.

A interpolação polinomial que será vistá será a de Lagrange e a de Newton.