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Espaços Vetoriais

1.1 Definições e Exemplos

Seja K um corpo com elementos neutros distintos 0 e 1, por exemplo, K = R

ou K = C.

Definição 1.1 Um espaço vetorial sobre K é um conjunto V munido de duas

leis:

V £ V ¡! V e K £ V ¡! V

(u; v) 7¡! u + v (a; v) 7¡! av

tais que, para quaisquer u; v;w 2 V e a; b 2 K, se tenha:

(1) u + v = v + u

(2) (u + v) + w = u + (v + w)

(3) existe 0 2 V , chamado o vetor zero, tal que v + 0 = v

(4) dado v 2 V , existe (¡v) 2 V , chamado o oposto de v, tal que v+(¡v) = 0

(5) 1 ¢ v = v

(6) a(bv) = (ab)v

(7) a(u + v) = au + av

(8) (a + b)v = av + bv.

Exemplo 1.1.1 Seja V = Kn, onde n 2 N, com as leis:

(x1; :::; xn) + (y1; :::; yn) = (x1 + y1; :::; xn + yn)

e

a(x1; :::; xn) = (ax1; :::; axn):

É fácil verificar que, com estas leis, Kn é um espaço vetorial sobre K.

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CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS 3

Observação: Os elementos de um espaço vetorial V são chamados de

vetores, enquanto que os de K são chamados de escalares. Essa nomenclatura

deriva do exemplo acima. As leis são chamadas de adição e multiplicação por

escalar, respectivamente.

No exemplo 1.1.1, se n = 1, vemos que K é um espaço vetorial sobre

si mesmo, de modo que seus elementos são, ao mesmo tempo, escalares e

vetores.

Exemplo 1.1.2 Seja V = Pn, onde n 2 N, o conjunto das funções polinomiais

de grau estritamente menor que n, com coeficientes em K, juntamente

com a função zero. Se p = a0+a1t+:::+an¡1tn¡1 e q = b0+b1t+:::+bn¡1tn¡1,

definimos p + q 2 V e cp 2 V , onde c 2 K, por:

p + q = (a0 + b0) + (a1 + b1)t + ::: + (an¡1 + bn ¡ 1)tn¡1

cp = ca0 + ca1t + ::: + can¡1tn¡1

Resulta que Pn é um espaço vetorial sobre K.

Exemplo 1.1.3 Seja V = K[t] o conjunto de todos os polinômios a uma

variável, com coeficientes em K. Definindo as leis como no exemplo 1.1.2, é

imediato que K[t] é um espaço vetorial sobre K.

Exemplo 1.1.4 Seja V = F(I;R) o conjunto das funções f : I 7¡! R, onde

I