Calculo De Area

Etapa 03

Aula tema: Calculo de Área.

Primeiro Passo:

Os dois conceitos principais do cálculo são desenvolvidos a partir de ideias geométricas relativas a curvas. A derivada provém da construção das tangentes a uma dada curva. O assunto deste e dos próximos capítulos, a integral, tem origem no cálculo de área de uma região curva. Como vimos no início deste livro, o problema de calcular áreas já despertava, por suas aplicação práticas, grande interesse nos gregos da Antiguidade. Apesar de várias fórmulas para o cálculo de áreas de figuras planas serem conhecidas desde esta época, e até mesmo problemas do cálculo de áreas de regiões limitadas por segmentos de retas e algumas curvas, como a parábola, terem sido estudados e resolvidos, para casos particulares, até o século XVII, quando foram estabelecidos os fundamentos do Cálculo Diferencial e Integral como uma teoria matemática digna de crédito, não se conhecia nenhuma fórmula ou método geral que se pudesse aplicar para resolver o problema de calcular áreas de regiões limitadas por curvas quaisquer. Nos meados do século XVII, vários estudiosos europeus, entre eles Fermat e Pascal, passaram a usar nos seus trabalhos o método da exaustão, empregado por Arquimedes no cálculo de áreas de segmentos parabólicos. Mais tarde, Newton e Leibniz mostraram como este método estava relacionado com o Cálculo Diferencial. Este importante resultado é denominado teorema fundamental do calculo e é um dos resultados mais importantes de toda a matemática. Como vimos, a derivada tem aplicações que transcendem a sua origem geométrica. Nos próximos capítulos, veremos que o mesmo acontece com a integral. A fim de tornar clara a discussão sobre áreas, vamos introduzir na próxima seção uma notação matemática padrão usada para abreviar somas que envolvem um n´úmero muito grande de parcelas.

Segundo Passo:

“Considerem as seguintes regiões S1 (Figura 1) e S2 (Figura 2). É correto afirmar que as áreas de S1 e S2 são, respectivamente 0,6931 u.a. e 6,3863 u.a.?”

No primeiro caso dividiremos a função em duas partes, de 0 até 1 (a1) e de 1 até 2 (a2), para facilitar os cálculos.

A função superior de a1 é igual a 1 quando x está em 1, logo a função é y = x.

A função inferior é igual a ½ quando x está 2, podemos facilmente deduzir sua fórmula: 2y= x⁄2 ∴▭(y= x⁄4). Agora calcularemos a integral da função superior subtraindo a função inferior.

∫_0^1▒〖(x-x⁄4〗)dx=(x^2⁄2- x^2⁄8) |_0^1= ▭(3⁄8 u.a.)

e procedemos para calcular a área a2 e a somaremos três oitavos:

∫_1^2▒〖(1⁄x-x⁄4〗)dx=(lnx- x^2⁄8) |_1^2+ 3⁄8= ln2-"1" /"2" "+" "1" /"8" "+" "3" /"8" = ▭(ln2=0,6931).

Portanto, a área S1 é verdadeira.

Funções do tipo a/x nunca tocam o eixo uma vez que seria necessário executar uma divisão por zero, elas se aproximam do eixo conforme x e y tendem a zero. No exemplo, a função 4/x está restrita por uma reta vertical e uma reta horizontal, portanto não temos esse problema. Iremos primeiro descobrir onde a função começa em x, sabemos que a reta está em seu ponto máximo neste momento, ou seja, y = 4. Calcularemos apenas em um setor (de um total de 4) uma vez que todos os setores são exatamente iguais, meramente espelhados.

y=4/x →x=4/4=1. Portanto, no setor superior direito a função começa em x = 1. Podemos integrar diretamente de x = 1 até x = 4.

∫_1^4▒4dx/x=4ln〖x|〗_1^4=4ln4=5,54 . Multiplicaremos esse valor por quatro, encontrando a Área Total S2 = 22,18. Portanto, a área sugerida pelo ATPS está incorreta.

Isso corresponde à alternativa (c) [I é verdadeira, II é falsa].

Terceiro Passo:

“Marquem a resposta correta do proposto, justificando, por meio de cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos..”

Os cálculos foram previamente demonstrados em seus desafios específicos.

Para o desafio A:

Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (c).

Substituiremos x por 8 na fórmula: (lnx- x^2⁄8)= (ln8- 8²⁄8)= -5,92.

E na expressão 4lnx=4ln8=8,32.

ETAPA 4

Aula Tema: Volume de Solido de Revolução.

Primeiro Passo:

O volume da esfera foi calculado por Arquimedes (287 - 212 a.c ), através do método da alavanca.Vendo a potencialidade deste método, ele tratou logo de aplicá-lo a outros sólidos de revolução, expondo suas ideias no tratado "Dos Conóides e Esferóides". Este livro trata dos sólidos que hoje designamos por elipsoides, paraboloides e hiperboloides de revolução. Seguindo os passos do grande Arquimedes, iremos calcular o volume do paraboloide de revolução através do método da alavanca usando as ferramentas modernas da Geometria Analítica e alguns rudimentos de estática. Este procedimento, além de possuir um valor histórico, é uma forma de mostrar aos alunos que podemos calcular o volume de outros sólidos além do cilindro, cone e esfera por métodos elementares sem usar o princípio de Cavalieri. Para aplicar o método da alavanca, considere o paraboloide de revolução de altura e raio da base igual a , gerado pela rotação da parábola em torno de seu eixo de simetria conforme a figura abaixo:

Nesta figura, temos um cilindro de raio e altura circunscrito ao paraboloide e cujo eixo coincide com o eixo de simetria da parábola. Multiplicando a expressão por , temos:

Nessa expressão, o termo pode ser interpretado como sendo a área da seção transversal do cilindro e o termo como sendo a área da seção transversal do paraboloide de revolução. Assim, se imaginarmos uma alavanca com o fulcro na origem e colocarmos a área a uma distância à direita do fulcro e a área a uma distância à esquerda do fulcro, vemos que ela satisfaz a lei da alavanca conforme a figura abaixo.

Por outro lado, quando varia de a as duas seções transversais varrem seus respectivos sólidos e os preenchem. Como as duas seções transversais por ficam em equilíbrio nesse processo, os próprios sólidos também estão em equilíbrio; o paraboloide a uma distância e o cilindro a uma distância (centro de gravidade) do fulcro. Assim, se é o volume do paraboloide então

Segundo Passo:

DESAFIO A.

“A área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo x, da curva y=4√x de 1/4 ≤x≤4 é: (2π(128√2- 17√(17)))/3 u.a.. Está correta esta afirmação?”

Eixo x

f(x) = r = 4√x

ds²=dx²+dy² → ds= √(1+(dy/dx)^2 )dx

dy/dx=(d4√x)/dx=2/√x

2π∫_(1/4)^4▒〖4√x √(1+(2/√x)^2 ) dx〗 → 2π∫_(1/4)^4▒〖4√x √(1+4/x) dx 〗→ 2π∫_(1/4)^4▒〖(4√x √((x+4)) dx)/(4√x) 〗

8π∫_(17⁄4)^8▒√u du → 8π∫_(17⁄4)^8▒u^(1/2+ 1)/(1⁄2) du=8π(2√((x+4)^3 ) |_(17⁄4)^8= 898,3898 u.a.

u=x+4 a=4+4=8

du=dx b=1/4+ 4=17/4

Podemos calcular manualmente (2π(128√2- 17√(17)))/3 equivale a 232,324 u.a.. Portanto a afirmação é falsa.

DESAFIO B.

“Qual é o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno da reta y = 2, da região R delimitada pelos gráficos das equações: y = senx, y = (senx)³ de x = 0 até x = π/2?”

π∫_a^b▒〖[(h-R_o x)^2- (h-R_1 〗 x)²]dx, onde:

y_1=sen^3 x →Função mais distante do eixo de revolução= R_o x

y_2=senx →Função mais próxima do eixo de revolução= R_1 x

h=(y=2)→Eixo de rotação,altura.

a=0 b= π/2

π∫_0^(π/2)▒〖[(2-sen^3 x)^2- (2-〗 senx)²]dx

π∫_0^(π/2)▒〖[(4-4sen³x+sen^6 x)^2- (4-〗 4senx+sen²x)]dx

π∫_0^(π/2)▒〖(sen^6 x-4sen^3 x-sen^2 x+4senx)〗 dx

π((-sen6x)/192+3sen4x/64-15sen2x/64+5x/16-(-4cos³x)/3+4cosx+ sen2x/4-x/2-4cosx) |_0^(π/2)

=▭3,263514.

Terceiro Passo:

“Resolvam o desafio A, julgando a afirmação apresentada como certa ou errada. Os cálculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente registrados. Marquem a resposta correta do desafio B, justificando por meio dos cálculos realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada.

Para o desafio A:

Associem o número 9, se a resposta estiver errada.”

Substituiremos x por 9 na fórmula 8π(2√((x+4)^3 )= 8π(2√((13)^3 )=2 356,05

“Para o desafio B:

Associem o número 8, se a resposta for 3,26.”

Substituiremos x por 8 na fórmula:

π((-sen6x)/192+3sen4x/64-15sen2x/64+5x/16-(-4cos³x)/3+4cosx+ sen2x/4-x/2-4cosx)

= -8,7

Quarto Passo:

CONCLUSÃO

Os cálculos requeridos foram realizados com sucesso, sendo todos eles de grande auxílio para o estudo da Engenharia. A exposição dos resultados provou ser relativamente fácil, muito devido a intensiva prática da criação de gráficos matemáticos em aula.

O processo de integração já era dominado pelos alunos, entretanto os sólidos de revolução foram um grande achado, que com certeza nos auxiliará em nossa carreira como Engenheiros.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

HUGHES-HALLET, D. Cálculo de uma variável. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004. v.1.

Custo Marginal. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Custo_marginal>. Acesso em 21 de Setembro de 2013.