Origem no cálculo da área da área curva

Os dois conceitos principais do c´alculo s˜ao desenvolvidos a partir de id´eias geom´etricas relativas a curvas. A derivada prov´em da constru¸c˜ao das tangentes a uma dada curva. O assunto deste e dos pr´oximos cap´ıtulos, a integral, tem

origem no c´alculo de ´area de uma regi˜ao curva.

Como vimos no in´ıcio deste livro, o problema de calcular ´areas j´a despertava, por suas aplica¸c˜oes pr´aticas, grande

interesse nos gregos da Antiguidade. Apesar de v´arias f´ormulas para o c´alculo de ´areas de figuras planas serem

conhecidas desde esta ´epoca, e at´e mesmo problemas do c´alculo de ´areas de regi˜oes limitadas por segmentos de retas

e algumas curvas, como a par´abola, terem sido estudados e resolvidos, para casos particulares, at´e o s´eculo XVII,

quando foram estabelecidos os fundamentos do C´alculo Diferencial e Integral como uma teoria matem´atica digna de

cr´edito, n˜ao se conhecia nenhuma f´ormula ou m´etodo geral que se pudesse aplicar para resolver o problema de calcular

´areas de regi˜oes limitadas por curvas quaisquer.

Nos meados do s´eculo XVII, v´arios estudiosos europeus, entre eles Fermat e Pascal, passaram a usar nos seus

trabalhos o m´etodo da exaust˜ao, empregado por Arquimedes no c´alculo de ´areas de segmentos parab´olicos (veja o

projeto Arquimedes e a Quadratura da Par abola). Mais tarde, Newton e Leibniz mostraram como este m´etodo estava

relacionado com o C´alculo Diferencial. Este importante resultado ´e denominado teorema fundamental do c alculo e ´e

um dos resultados mais importantes de toda a matem´atica.

Como vimos, a derivada tem aplica¸c˜oes que transcendem a sua origem geom´etrica. Nos pr´oximos cap´ıtulos, veremos

que o mesmo acontece com a integral.

A fim de tornar clara a discuss˜ao sobre ´areas, vamos introduzir na pr´oxima se¸c˜ao uma nota¸c˜ao matem´atica padr˜ao

usada para abreviar somas que envolvem um n´umero muito grande de parcelas

Um pouco de hist oria

Parece que o primeiro a calcular a ´area exata de uma figura

limitada por curvas foi Hip´ocrates de Chios, o mais famoso

matem´atico grego do s´eculo V A.C.. Ele calculou a ´area da figura

em forma de lua crescente (ou minguante), na figura ao lado. Esta

figura, constru´ıda por dois c´ırculos (o c´ırculo centrado em (0,0)

e raio unit´ario e o c´ırculo centrado em (0, −1) e passando pelos

pontos (1,0) e (−1,0)) recebeu o nome de l´unula de Hip´ocrates,

em homenagem `aquele que descobriu