Calculo De Volume

ETAPA 4

Passo 1 (Equipe) Esta faltando ????

Façam as atividades apresentadas a seguir.

1 Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de cálculo do volume de um sólido de revolução. Pesquisem também em: livros didáticos, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização das técnicas de integração no cálculo de volume.

2 Façam um levantamento sobre a história do surgimento das desta forma de calcular o volume de um sólido de revolução e

elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.

Cálculo de volume de revolução usando integral

Cálculo de Volume de Revolução

A determinação de volumes de objetos caracteriza um importante papel no estudo

de muitos problemas nas ciências físicas. De maneira geral, os cursos de Cálculo Diferencial e Integral abordam os problemas de volumes utilizando funções de uma variável real que revolvem em torno de um eixo (reta no plano) de rotação, como pode ser observado resultado é um modelo tridimensional chamado de sólido de revolução e que possui um volume que dependente do domínio da função.

Assim, o volume de um sólido de revolução é obtido pela rotação de uma região delimitada pela função f(x) no intervalo [a,b] em torno do eixo das abscissas , formado pela constante y = 0

Nesta parte da ATPS usaremos a integral para calcular o volume de um tipo particular de região do espaço, chamada de sólidos de revolução. (Em Cálculo III, volumes de regiões mais gerais serão calculados usando integral tripla.)

Considere uma função positiva no intervalo [a, b], f : [a; b] -> R+. Seja R a região delimitada pelo gráfico de f, pelo eixo x e pelas retas x = a, x = b

Sabemos que a área de R é dada pela integral de Riemann.

Consideremos agora o sólido S obtido girando a região R em torno do eixo x, como na figura abaixo:

Sólidos que podem ser gerados dessa maneira, girando uma região em torno de um eixo, são chamados desólidos de revolução. Veremos situações em que a região não precisa ser delimitada pelo gráfico de uma função, e que o eixo não precisa ser o eixo x.

Antes de começar, consideremos um caso elementar, que será também usado para o caso geral.

Exemplo 6.21. Suponha que f é constante em [a, b], isto é: f(x) = r > 0 para todo x ? 2 [a, b]:

Neste caso, o sólido gerado S é um cilindro (deitado). A sua base é circular de raio r, e a sua altura é b - a. Pela fórmula bem conhecida do volume de um cilíndro,

Queremos agora calcular V(S) para um sólido de revolução qualquer.