A INTEGRAL DEFINIDA E SUA APLICAÇÃO NO CÁLCULO DO VOLUME DA ESFERA E DO CILINDRO CIRCULAR RETO DEITADO

INTRODUÇÃO

Ao longo de muitos séculos o homem sempre veio a buscar um conhecimento que lhe permitisse resolver os problemas que encontrava pela frente. Dentre os vários e vários problemas que ele conseguiu aos poucos resolver estava os cálculos de áreas de figuras planas. Desde os tempos do geômetra grego Hipócrates de Chios (440 a.C.), que muitos estudiosos vêm aperfeiçoando os estudos sobre os problemas de área, como assim eles chamavam; tais estudos possibilitaram ao homem conhecer uma ferramenta matemática que nos dias de hoje é considerada como uma das mais importantes já estudadas: a Integral definida.

A Integral definida surgiu então do estudo de problemas de áreas de figuras planas, porém com o passar dos tempos, viu-se que ela poderia representar muito mais do que uma simples forma de resolver problemas de áreas. Assim, muitos foram os homens que a estudaram e deram a ela mais utilidades, passando de uma simples ferramenta de se calcular áreas para ser aplicada em diversos outros ramos da ciência como, por exemplo, a medicina, a engenharia, a física, a biologia, etc.

Uma situação comum do dia a dia que melhor ilustra o desenvolvimento do tema deste trabalho está na armazenagem de substâncias líquidas em grandes recipientes, estes recipientes, na maioria dos casos é de formato cilíndrico, estando na posição dita “deitada”, ou esférico. Então, como fazer para se ter um controle de volume à medida que a substância é retirada de dentro destes sólidos, uma vez que não estão cheios, as fórmulas ensinadas em geometria no ensino médio para o cálculo do volumes destes sólidos não servem mais para este problema. São nestes casos que podemos estar desenvolvendo uma fórmula que permita calcular o volume conforme a quantidade de substância contida em tais recipientes, e para tanto podemos fazer uso de uma integral definida para se resolver tal problema.

Desta forma, propõe-se neste trabalho mostrar uma destas aplicações da integral definida, demonstrando as fórmulas que calculem o volume de uma esfera e de um cilindro circular reto e também as fórmulas que calculem o volume da esfera e do cilindro circular reto deitado em função da quantidade de substância neles contidos.

CAPÍTULO 1

ALGUNS FATOS HISTÓRICOS SOBRE O CÁLCULO INTEGRAL

Para realizarmos um estudo completo sobre o desenvolvimento do Cálculo Integral, necessitaríamos de uma vasta pesquisa que sem dúvidas resultaria em diversas páginas, o que estaria muito além dos propósitos deste trabalho, o intuito é de apresentar de forma histórica neste capítulo, alguns dos fatos mais importantes que resultaram na construção desta poderosa ferramenta matemática: a Integral. Apesar da maior parte da história do cálculo integral ter sido estudada ao longo do século XVII, devemos retornar um pouco no tempo para que possamos compreender melhor como surgiram os estudos sobre o cálculo integral. [1]

Os primeiros problemas surgidos relacionados com integrais foram sobre cálculos de áreas. Os gregos foram um dos primeiros povos que tentaram resolver este tipo de problema que ficou conhecido como quadratura. Quando estes antigos geômetras tentavam descobrir o valor da área de uma figura em questão costumavam relacionar esta área com a área de um quadrado, por ser esta a figura mais simples que eles consideravam, desta forma buscavam encontrar a área do quadrado que mais se aproximava da figura em questão. Assim o termo quadratura se tornou sinônimo do processo de determinação de áreas. Da mesma forma que surgiu o termo quadratura, surgiu também o termo cubatura, o qual é designado para se encontrar valores de volumes. [4]

Os problemas de quadraturas que mais fascinavam os geômetras eram as de figuras curvilíneas como o círculo. Hipócrates de Chios (440 a.C.), que foi um dos primeiros homens da história a realizar problemas de quadratura, estudou figuras conhecidas como lúnulas, figuras que se assemelham com a lua no estado quarto - crescente. Mas uma das contribuições mais importantes e antigas em relação à quadratura do círculo foi dada por Antífon (430 a.C.), ele procurou encontrar a quadratura do círculo através de uma seqüência infinita de polígonos regulares inscritos no círculo. Mas tinha um problema: essa seqüência nunca poderia ser concluída, pois havia o princípio de que uma grandeza pode ser subdividida e que assim, o processo de Antífon jamais chegaria à área do círculo. Apesar disso, essa foi uma idéia genial que deu origem ao método da exaustão que é creditada à Eudoxo (370 a.C.), mas que foi aperfeiçoada por Arquimedes. [4]

Segundo EVES (2004, p. 419)

[...] O método da exaustão admite que uma grandeza possa ser subdividida indefinidamente e sua base é a proposição: Se de uma grandeza qualquer se subtrai uma parte não menor que sua metade, do restante subtrai-se também uma parte não menor que sua metade, e assim por diante, se chegará por fim a uma grandeza menor que qualquer outra predeterminada de outra espécie.

Arquimedes então usou o método da exaustão para realizar a quadratura do círculo assim como Antífon havia feito, ou seja, ele inscreveu uma sucessão de polígonos regulares dentro do círculo, fazendo assim que o número de lados do polígono crescesse indefinidamente, com isto, à medida que cresce o úmero de lados, os polígonos tendem a “exaurir” a região do círculo e assim as áreas dos polígonos se aproximavam da medida exata da área do círculo. [3]

Arquimedes ainda teve outras contribuições para o desenvolvimento do cálculo integral, ele descobriu que a área da região limitada por uma parábola cortada por uma corda qualquer, é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base; ele também desenvolveu um método para cálculos de áreas e volumes o qual ficou conhecido como o método de equilíbrio de Arquimedes, este método consistia em dividir a região correspondente em um número muito grande de tiras planas ou fatias paralelas muito finas e em seguida, mentalmente pendurar estes pedaços na extremidade de uma alavanca, de tal maneira a se obter um equilíbrio entre estes pedaços e uma figura de área ou volume conhecido. [4]

Os Primeiros Passos de Integração na Europa Ocidental

No período que vai das notáveis realizações de Arquimedes até praticamente os tempos modernos, a teoria da integração quase não foi estudada. Os trabalhos de Arquimedes só foram chegar na Europa Ocidental por volta do ano de 1450, quando foi descoberta através de uma tradução de uma cópia datada do