Conceitoos Basicos

i=1 viei =

CAPITULO 1. CONCEITOS BASICOS 5

Entao temos:

i=1 vi ei =

Assim, na forma matricial, podemos escrever:

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

an1 an2 Ann

Exercıcios

canonica para o espaco dos polinomios e {1, x, x2, }. Seja P3 = 3 + 4 x2 + 2 x3 e B1 =

Espaco Vetorial Euclidiano

Vamos definir aqui importantes nocoes de produto escalar e de ortogonalidade, visando introduzir, entre outras coisas o conceito de comprimento e distancia.

Produto Escalar Seja E um espaco vetorial real. Sejam x,y elementos de E.

CAPITULO 1. CONCEITOS BASICOS 6

Definicao 1.4 - Chama-se produto escalar (ou produto interno) de x por y, em sımbolo, (x,y), qualquer funcao definida em E × E com valores em IR satisfazendo as seguintes propriedades:

Um espaco vetorial real E, onde esta definido um produto escalar e chamado espaco euclidiano real.

Daremos a seguir alguns exemplos de produto escalar.

Solucao: Devemos mostrar que as condicoes P1,P2,P3 e P4 estao satisfeitas, isto e, que (1.7) e um produto escalar bem definido no IR2. De fato:

Logo, (1.7) e uma boa definicao de produto escalar.

Nos proximos exemplos, a verificacao de que as condicoes P1,P2,P3 e P4 sao satisfeitas, fica como exercıcio.

Exemplo 1.3 - Seja E = IRn. Para x,y ∈ E, isto e, x = (x1, x2, , xn)t , e y = (y1, y2, ..., yn)t,

definimos:

como um produto escalar no IRn. (1.8) e chamado de produto escalar usual no IRn. Tambem,

i=1 wi xi yi, (1.9) com wi fixados e positivos, define no IRn um produto escalar. Assim, tanto (1.8) como (1.9) transformam o IRn num espaco euclidiano real.

Exemplo 1.4 - Seja E = C[a,b] o espaco vetorial das funcoes contınuas reais definidas sobre o intervalo limitado fechado [a,b]. Se para f,g ∈ C[a,b] definimos:

tal espaco torna-se um espaco euclidiano real. (1.10) e chamado de produto escalar usual em C[a,b].

CAPITULO 1. CONCEITOS BASICOS 7 equacao (1.10) define um produto escalar em Kn = {Pr(x) / r ≤ n}, (espaco vetorial dos polinomios de grau ≤ n).

Exemplo 1.5 - Seja E = Kn(x) = {Pr(x) / r ≤ n}. Sejam a ≤ x0 < x1 < < xm ≤ b, m + 1 pontos

distintos, com m ≥ n. Definimos:

como um produto escalar Kn.

Esse ultimo exemplo mostra uma outra maneira de se transformar Kn(x) num espaco euclidiano real, maneira esta que sera util em problemas de aproximacao de funcoes pelo metodo dos mınimos quadrados, no caso discreto.

Ortogonalidade

Seja E um espaco euclidiano real. Sejam x,y elementos de E.

Observe que (x,θ) = (θ,x) = 0 qualquer que seja x, onde θ e o vetor nulo.

ortogonais.

Solucao: Temos:

−pi sen x cos x dx = sen2 x

]pi

Assim, sen x e cos x sao ortogonais em E.

Exemplo 1.7 - Em E = IR3, com o produto escalar usual, verificar se os vetores: f1 = (

)t sao ortogonais.

Solucao: Temos:

Logo, f1 e f2 sao ortogonais em E.

a) vi 6= θ, i = 1, 2, , m ;

sao sempre linearmente independentes.

CAPITULO 1. CONCEITOS BASICOS 8

Dito de outro modo:os vetores nao nulos v1,v2,...,vm, dois a dois ortogonais, sao sempre linearmente independentes.

Prova: Devemos provar que:

α1v1 + α2v2 + + αmvm = 0 (1.12)

⇒ α1 = α2 = = αm = 0.

Em virtude de (1.12) podemos escrever, sucessivamente, para cada i = 1,2,...,m:

(vi , α1v1 + α2v2 + + αivi + ... + αmvm) = (vi,0) = 0,

α1 (vi,v1) + α2 (viv2) + + αi (vi,vi) + ... + αm (vi,vm) = 0.

ou seja: onde aplicamos P2 e P3. Mas (vi,vj) = 0 , i 6= j. Daı, a igualdade acima se reduz a:

Logo, os vetores v1,v2,...,vm sao linearmente independentes.

Definicao 1.6 - Seja E um espaco euclidiano de dimensao n. Se f1,f2,...,fn sao dois a dois ortogonais, ou seja, se (fi,fj) = 0, i 6= j, eles constituem uma base de E, que sera chamada de base ortogonal.

Teorema 1.2 - A condicao necessaria e suficiente para que um vetor v ∈ E seja ortogonal a um subespaco E′ ⊂ E e que v seja ortogonal a cada vetor e1,e2,...,en de uma base de E′.

Prova: A condicao e evidentemente necessaria. Provemos a suficiencia. Seja x um vetor qualquer de E′. Temos entao:

x = α1 e1 + α2 e2 + + αn en,

(v,x) = (v, α1 e1 + α2 e2 + + αn en)

= α1 (v,e1) + α2 (v,e2) + + αn (v,en) = 0,