Conjuntos Numéricos

INTRODUÇÃO

Como em qualquer assunto a ser estudado, a Matemática também exige uma linguagem adequada para o seu desenvolvimento.

A teoria dos Conjuntos representa instrumento de grande utilidade nos diversos desenvolvimentos da Matemática, bem como em outros ramos das ciências físicas e humanas.

Devemos aceitar, inicialmente, a existência de alguns conceitos primitivos (noções que adotamos sem definição) e que estabelecem a linguagem do estudo da teoria dos Conjuntos, que é a teoria matemática dedicada ao estudo da associação entre objetos com uma mesma propriedade, elaborada por volta do ano de 1872. Sua origem pode ser encontrada nos trabalhos do matemático russo Georg Cantor (1845-1918), os quais buscavam a mais primitiva e sintética definição de conjunto. Tal teoria ficou conhecida também como “teoria ingênua” ou “teoria intuitiva” por causa da descoberta de várias antinomias (ou paradoxos) associados à idéia central da própria teoria. Tais antinomias levaram a uma axiomatização das teorias matemáticas futuras, influenciando de modo indelével as ciências da matemática e da lógica. Mais tarde, a teoria original receberia complementos e aperfeiçoamentos no início do século XX por outros matemáticos.

O conhecimento prévio de tal teoria serve como base para o desenvolvimento de outros temas na matemática, como relações, funções, análise combinatória, probabilidade, etc.

Como definição intuitiva de conjuntos, dadas por Cantor, surgiam em sua teoria exemplos como:

1. um conjunto unitário possui um único elemento

2. dois conjuntos são iguais se possuem exatamente os mesmos elementos

3. conjunto vazio é o conjunto que não possui nenhum elemento

4. Os conjuntos podem ser finitos ou infinitos. Um conjunto finito pode ser definido reunindo todos os seus elementos separados por vírgulas. Já um conjunto infinito pode ser definido por uma propriedade que deve ser satisfeita por todos os seus membros.

A ideia de conjunto era um conceito primitivo e auto explicativo de acordo com a teoria; não necessitaria de definição.

Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração de seus elementos é denominada “forma de listagem”. Poderia-se representar o mesmo conjunto por uma determinada propriedade de seus elementos, sendo x, por exemplo, um número qualquer do conjunto Z representado abaixo:

Z = {1,3,5,7,9,11, … }

teríamos, concluindo:

Z = { x | x é ímpar e positivo } = { 1,3,5, … }.

 PERTINÊNCIA

Estabelece se um elemento pertence ou não pertence a um conjunto pré-estabelecido:

- dado um número x, caso ele pertença ao conjunto, escrevemos x ∈ A, ou “x” pertence ao conjunto A

- caso “x” não pertença ao conjunto, registra-se x ∉ A

- um conjunto sem elementos é um conjunto vazio, representado pela letra grega φ (phi)

2 – Subconjunto:

Caso todo o elemento do conjunto A pertença também ao conjunto B, sem que todos os elementos deste segundo grupo pertençam todos a B, diremos que “A é subconjunto de B”: A ⊂ B

CONJUNTOS NUMÉRICOS FUNDAMENTAIS:

Trata-se de qualquer conjunto cujos elementos são números, entre eles, o conjunto de números naturais N = {0,1,2,3,4,5,6…}; o conjunto de números inteiros Z = {…, -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,… } (sendo que N ⊂ Z); conjunto de números racionais Q = { 2/3,  -3/7,   0,001,   0,75,   3,  etc.) (sendo que N ⊂ Z ⊂ Q); conjunto de números irracionais, etc.

UNIÃO

Ocorre união quando o conjunto união contempla todos os elementos de dado conjunto A ou de dado conjunto B.

Exemplo: {0,1,3} ∪ { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}

Assim, através de suas numerosas combinações, que fornecem poderosa ferramenta para a construção da matemática de base axiomática, apesar de seu conteúdo predominantemente dedutivo, logo surgiu o “Paradoxo de Russel”, que é a contradição mais famosa da teoria dos conjuntos.

Adotaremos a existência de três conceitos primitivos: elemento, conjunto e pertinência. Assim é preciso entender que, cada um de nós é um elemento do conjunto de moradores desta cidade, ou melhor, cada um de nós é um elemento que pertence ao conjunto de habitantes da cidade, mesmo que não tenhamos definido o que éconjunto, o que é elemento e o que é pertinência.

NOTAÇÃO E REPRESENTAÇÃO

A notação dos conjuntos é feita mediante a utilização de uma letra maiúscula do nosso alfabeto e a representação de um conjunto pode ser feita de diversas maneiras, como veremos a seguir:

LISTAGEM DOS ELEMENTOS

Apresentamos um conjunto por meio da listagem de seus elementos quando relacionamos todos os elementos que pertencem ao conjunto considerado e envolvemos essa lista por um par de chaves. Os elementos de um conjunto, quando apresentados na forma de listagem, devem ser separados por vírgula ou por ponto-e-vírgula, caso tenhamos a presença de números decimais.

Exemplos

1º) Seja A o conjunto das cores da bandeira brasileira, então:

A = {verde, amarelo, azul, branco}

2º) Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então:

B = {a, e, i, o, u}

3º) Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então:

C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

UMA PROPRIEDADE DE SEUS ELEMENTOS

A apresentação de um conjunto por meio da listagem de seus elementos traz o inconveniente de não ser uma notação prática para os casos em que o conjunto apresenta uma