Cálculo III

Apresentação

A atividade prática supervisionada (ATPS) é um procedimento metodológico de ensino-aprendizagem desenvolvido por meio de um conjunto de etapas programadas e supervisionadas e que tem por objetivos:

 Favorecer a aprendizagem.

 Estimular a corresponsabilidade do aluno pelo aprendizado eficiente e eficaz.

 Promover o estudo, a convivência e o trabalho em grupo.

 Desenvolver os estudos independentes, sistemáticos e o autoaprendizado.

 Oferecer diferentes ambientes de aprendizagem.

 Auxiliar no desenvolvimento das competências requeridas pelas Diretrizes Curriculares Nacionais dos Cursos de Graduação.

 Promover a aplicação da teoria e conceitos para a solução de problemas práticos relativos à profissão.

 Direcionar o estudante para a busca do raciocínio crítico e a emancipação intelectual.

Para atingir estes objetivos a ATPS propõe um desafio e indica os passos a serem percorridos ao longo do semestre para a sua solução.

Ao concluir as etapas propostas neste desafio, você terá desenvolvido as competências e habilidades que constam, nas Diretrizes Curriculares Nacionais, descritas a seguir.

 Aplicar todos seus conhecimentos matemáticos, científicos, tecnológicos e instrumentais à Engenharia.

 Projetar e conduzir experimentos e interpretar resultados.

 Identificar, formular e resolver problemas de Engenharia.

Resolução passo a passo de todos os exercícios propostos nas etapas, justificando por meio dos cálculos realizados, com resultados gerais com os algarismos encontrados, escrevendo os milhões de metros cúbicos que poderão ser extraídos do novo poço de petróleo recém-descoberto pela empresa Petrofue.

O petróleo (do latim petroleum, onde petrus = pedra e oleum= óleo) é um recurso natural abundante, definido como um composto de hidrocarboneto, oleoso, inflamável, geralmente menos denso que a água e que possui uma coloração que variado incolor até o preto.

Na Antiguidade, era usado para fins medicinais e para lubrificação. Atribuíam-se ao petróleo propriedades laxantes, cicatrizantes e antissépticas. Atualmente, se configura a principal fonte de energia do planeta. Além de gerar gasolina, que serve de combustível para grande parte dos automóveis que circulam no mundo, vários produtos são derivados do petróleo, como por exemplo, a parafina, o asfalto, querosene, solventes e óleo diesel.

O processo de extração do petróleo pode varia muito, de acordo com a profundidade em que o óleo se encontra, e pode estar nas primeiras camadas do solo ou até milhares de metros abaixo do nível do mar.

A empresa Petrofuels tem como principal atividade, a extração de petróleo no Brasil.

Para tanto, de tempo em tempo, são levantadas por geógrafos, agrônomos, paleontólogos, engenheiros e outros especialistas, regiões que apresentem maior probabilidade de se encontrar petróleo. Por meio de estudos com aviões sonda, satélites e de pequenos terremotos artificiais, essas regiões são selecionadas e se confirmada a presença de petróleo, inicia-se o projeto para extração do mesmo. Recentemente, a empresa Petrofuels descobriu gigantescas reservas na bacia de Santos.

O desafio geral desta ATPS propõe identificar qual é a quantidade total mensal de óleo que poderá ser extraído deste poço recém-descoberto.

Para tanto, quatorze desafios é proposto para ser resolvido. Cada desafio, após ser devidamente realizado, deverá ser associado a um número (0 a 9). Esses números, quando colocados lado a lado e na ordem de realização das etapas, fornecerão os algarismos que irão compor a quantidade total mensal de óleo que poderá ser extraído.

Objetivo desse desafio é encontrar a quantidade total mensal de óleo, estimada pelos engenheiros da Petrofuels, que poderá ser extraído de um poço de petróleo recém-descoberto.

Na Etapa1 apresentamos os conceitos de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas, além de uma breve história do surgimento das integrais. Serão resolvidos os exercícios dos desafios propostos desta etapa.

Na Etapa2 apresentaremos os conceitos e utilização das técnicas de integração por partes e por substituição, além de uma breve história do surgimento das técnicas de integração trabalhadas nesta etapa. Serão resolvidos os exercícios dos desafios propostos desta etapa.

Etapa 1

Integral Definida e Integral Indefinida.

1.1. O Nascimento do Cálculo

As contribuições dos matemáticos para o nascimento do Cálculo são inúmeras. Muitos deles, mesmo que de forma imprecisa ou não rigorosa, já utilizavam conceitos do Cálculo para resolver vários problemas - por exemplo, Cavalieri, Barrow, Fermat e Kepler. Nesse tempo ainda não havia uma sistematização, no sentido de uma construção logicamente estruturada.

A união das partes conhecidas e utilizadas até então, aliada ao desenvolvimento e aperfeiçoamento das técnicas, aconteceu com Newton e Leibniz que deram origem aos fundamentos mais importantes do Cálculo: as Derivadas e as Integrais.

O Cálculo pode ser dividido em duas partes: uma relacionada às derivadas ou Cálculo Diferencial e outra parte relacionada às integrais, ou Cálculo Integral.

As origens de alguns dos principais conceitos matemáticos aqueles que lidam com números, grandezas e formas remontam às mais antigas civilizações.

As tentativas feitas por egípcios, babilônios e gregos de resolver problemas práticos (Como reduzir as taxas cobradas aos agricultores do vale do Nilo tendo em vista a área alagada e tomada pelo rio a cada ano? Como calcular o volume de um silo de forma cônica? Como dobrar o volume do pedestal da estátua em homenagem ao deus Apolo?) levou-os à resolução de algumas equações, ao cálculo de áreas e volumes de figuras simples como retângulos, trapézios, cones, cilindros e ao desenvolvimento de um sistema de numeração.

“O Cálculo” é uma expressão simplificada, adotada pelos matemáticos quando estes se referem à ferramenta matemática usada para