Cálculo III

ETAPA 1 (tempo para realização: 05 horas)

Aula-tema: Integral Definida. Integral Indefinida.

Esta etapa é importante para você fixe, de forma prática, a teoria de integrais indefinidas e definidas, desenvolvida previamente em sala de aula pelo professor da disciplina. Você também irá aprender o conceito de integral como função inversa da derivada.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

PASSOS

Passo 1 (Equipe)

Façam as atividades apresentadas a seguir.

1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas. Pesquisem também em: livros didáticos, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização da teoria de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas.

2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das integrais e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.

3. Façam o download do Software Geogebra. Este software servirá de apoio para a resolução de alguns desafios desta etapa.

Sites sugeridos para pesquisa

• GeoGebra. Disponível em: <http://www.geogebra.org/cms/pt_BR>. Acesso em: 22 abr. 2012

• Curso de GeoGebra. Disponível em:

<http://www.youtube.com/playlist?list=PL8884F539CF7C4DE3>. Acesso em: 22 abr. 2012.

Passo 2 (Equipe)

Leiam os desafios propostos:

Desafio A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de: ∫ (〖 a〗^3/3 + 3/a^3 + 3/a )

F (a) = 12a^4 - 〖3a〗^(-2)/2+ln⎸3a⎸+c

F (b) = a^4/12- 3/〖2a〗^2 +3 ln⎸a⎸+c

F (c) = a^4/12+ 2/〖2a〗^2 -3 ln⎸a⎸+c

F (d) = 12a^4+ 3/〖2a〗^(-2) +ln⎸a⎸+c

F (e) = a^4+ 3/〖2a〗^2 +3 ln⎸a⎸+c

Integrando: ∫ a^3/3 da+∫ 3/a^3 da+∫ 3/a da

a^(3+1)/(3/(3+1))+ 〖3a〗^(-3)/a^3 +3 ∫▒1¦a+c

= a^4/(3/4)+ 〖3a〗^(-3+1)/(-3+1)+3.ln a+c

= a^4/12- 3/(2a^2 )+3 ln⁡〖 ⎸a ⎸+C〗

Resposta: (b) Desafio B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C′(q) =1000 + 50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C (0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar q pés, é:

(a) C(q) =10.000 +1 000q + 25q2

(b) C(q) =10.000 + 25q +1 000q2

(c) C(q) =10.000q2

(d) C(q) =10.000 + 25q2

(e) C(q) =10.000q + q2 + q3

C(q)= ∫(1000dq+50q)=

C(q)=∫〖1000q〗^1/1+〖50q〗^(1+1)/(1+1)

C(q)=1000q/1+ 〖50q〗^2/2 ⇒1000q+25q^2

C(q) = 10000 + 1000q + 25q^2

Resposta:( a )

Desafio C

No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: C (t)= 16,1- e0,07. Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?

(a) 56,43 bilhões de barris de petróleo

(b) 48,78 bilhões de barris de petróleo

(c) 39,76 bilhões de barris de petróleo

(d) 26,54 bilhões de barris de petróleo

(e) Nenhuma das alternativas

Ct=2∫▒〖16,1 e^0,07 t〗

C(2)=16,1.e^0,07.2⇒C(2)=Aproximadamente 18,52 bilhões

C(4)=16,1.e^0,07.4 ⇒C(4)=Aproximadamente 21,30 bilhões

18,52 bilhões+21,30 bilhões= aprox. 39,76 bilhões de barris de petróleo

Resposta: (c)

Desafio D

A área sob a curva y = e de x = −3 a x = 2 é dada por:

(a) 4,99 (b) 3,22 (c) 6,88 (d) 1,11 (e) 2,22

∆x= (( B-A ))/n

∆x= (2-( -3))/5

∆x = 1

y(-2,5)= e^((-2,5)/2 )= 0,286504796

y(-1,5) = e (-1,5)/2= 0,472366552

y(-0,5)= e (-0,5)/2 = 0,778800783

y (0,5)= e 0,5/2=1,284025417

y(1,5)= 〖e 〗^(1,5/2)=2,117000017

∑ = 4,938697565

A= ∑ . ∆x

A = 4,9386

Resposta: ( a )

Passo 3 (Equipe)

Marquem a resposta correta dos desafios A, B, C e D, justificando através dos cálculos realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada.

Para o desafio A:

Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (a).

Associem o número