Cálculo numérico

dCÁLCULO NUMÉRICO

NOTAS DE AULAS 01

Professor: Vicente Pacheco

REFERÊNCIAS

1. Introdução

1.1 O que é o Cálculo Numérico?

O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos se aplicam principalmente a problemas que não apresentam uma solução exata, portanto precisam ser resolvidos numericamente.

O que isso quer dizer? Vamos tomar um exemplo para entender melhor os objetivos do Cálculo Numérico.

Seja um circuito elétrico composto de uma fonte de tensão (uma pilha, por exemplo) e um resistor, como ilustrado na Figura 1. Digamos que desejamos obter a corrente que circula no circuito, dado o valor da tensão V e da resistência R. O primeiro passo é formular um modelo matemático para o nosso sistema físico (o circuito), e encontrar a solução do problema representado por esse modelo.

Figura 1: Circuito elétrico composto de uma fonte de tensão e um resistor.

No caso do circuito da Figura 1, o modelo matemático também é bastante simples. Utilizando-se a Lei de Kirchoff (não se preocupe com essa lei caso você não a conheça), teremos a seguinte equação para o circuito:

Esse é o nosso modelo matemático para o circuito (sistema físico). O modelo apresenta uma equação bastante simples que tem uma solução exata. Portanto, nosso problema (encontrar a corrente elétrica do circuito) pode ser resolvido de maneira exata, cuja solução é dada por:

Por exemplo, se V=10 V e R=100 , teremos que i=0,1A

Como esse problema tem uma solução exata, não é preciso utilizar os métodos do cálculo numérico para resolvê-lo. Porém, digamos que outro componente eletrônico seja incluído no circuito: um diodo semicondutor. Esse dispositivo tem uma curva característica, isto é, a tensão nesse componente em função da corrente, que é dada por:

onde k e Is são constantes, q é a carga do elétron e T a temperatura do dispositivo. Essa equação corresponde ao modelo matemático do diodo (não se preocupe em entender esta equação, pois isto é só um exemplo).

Portanto, ao se incluir o diodo no circuito da Figura 1, tem-se a seguinte equação descrevendo o comportamento da corrente elétrica no circuito:

Figura 2

A inclusão desse novo componente no circuito tornou nosso problema mais complicado e de difícil solução analítica. O que isso quer dizer? Tornou-se difícil se obter uma expressão para i, principalmente quando comparado ao caso anterior, quando tínhamos simplesmente i=V/R.

Como resolver esse problema então? Como obter o valor de i? A solução está na utilização de métodos numéricos que serão aprendidos neste curso.

1.3 Métodos Numéricos

Os métodos numéricos buscam soluções aproximadas para as formulações matemáticas.

Nos problemas reais, os dados são medidas e, como tais, não são exatos. Uma medida física não é um número, é um intervalo, pela própria imprecisão das medidas. Daí trabalha-se sempre com a figura do erro, inerente à própria medição.

Os métodos aproximados buscam uma aproximação do que seria o valor exato. Dessa forma é inerente aos métodos se trabalhar com a figura da aproximação, do erro, do desvio.

Ao resolver um problema matemático numericamente, o mais comum é o profissional utilizar um pacote computacional. Porém, ele terá que tomar uma série de decisões antes de resolver o problema. E para tomar essas decisões, é preciso ter conhecimento de métodos numéricos. O profissional terá que decidir:

 Pela utilização ou não de um método numérico (existem métodos numéricos para se resolver este problema?);

 Escolher o método a ser utilizado, procurando aquele que é mais adequado para o seu problema. Que vantagens cada método oferece e que limitações eles apresentam;

 Saber avaliar a qualidade da solução obtida. Para isso, é importante ele saber exatamente o que está sendo feito pelo computador ou calculadora, isto é, como determinado método é aplicado.

1.4 Objetivos do Curso:

Os principais objetivos do curso são:

• Apresentar diversos métodos numéricos para a resolução de diferentes problemas matemáticos. Pretende-se deixar bem claro a importância desses métodos, mostrando:

 a essência de um método numérico;

 a diferença em relação a soluções analíticas;

 as situações em que eles devem ser aplicados;

 as vantagens de se utilizar um método numérico;

 e as limitações na sua aplicação e confiabilidade na solução obtida.

• Melhorar a familiarização e “intimidade” do aluno com a matemática, mostrando seu lado prático e sua utilidade no dia-a-dia de um engenheiro. Rever conceitos já vistos, exercitá-los e utilizá-los de maneira prática;

• Apresentar ao aluno maneiras práticas de se desenvolver e utilizar métodos numéricos. Isso significa mostrar como usar esses métodos numéricos na calculadora e em um computador;

• Treinar o aluno a aprender outros métodos numéricos por conta própria. No seu dia-a-dia profissional, ele pode se deparar com um problema cuja solução depende de um método numérico que não foi visto no curso. Portanto, ele deverá ser capaz de encontrar a literatura pertinente, estudar o método e aprender a sua utilização