Definição matemática do derivado

1. Derivada

O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação instantânea de uma função, o qual está presente no cotidiano das pessoas, através, por exemplo, da determinação da taxa de crescimento de certa população, da taxa de crescimento econômico do país, da taxa de redução da mortalidade infantil, da taxa de variação de temperaturas, da velocidade de corpos ou objetos em movimento, enfim, poderíamos ilustrar inúmeros exemplos que apresentam uma função variando e que a medida desta variação se faz necessária em um determinado momento.

1.1 Definição matemática da derivada de uma função em ponto: Se uma função de f é definida em um intervalo aberto contendo x₀, então a derivada de f em x₀, denotada por f’(x₀), é dada por:

se este limite existir ∆x representa uma pequena variação em x, próximo de x₀, ou seja, tomando x= x₀,+∆x (∆x = x- x₀), a derivada de f em x₀ pode também se expressar por

1.2 Interpretação física: a derivada de uma função f em um ponto x₀ fornece taxa de variação instantânea de f em x. Vejamos como isso ocorre:

Suponha que y seja uma função de x, ou seja, y =f(x). Se x variar de um valor x₀ até um valor x₁, representaremos esta variação de x, que também é chamada de incremento de x, por ∆x=x₁- x₀ e a variação de y é dada por ∆y= f(x₁)-f(x₀), o que é ilustrado na figura a seguir.

O quociente das diferenças, dado por é dito taxa de variação

média de y em relação a x, no intervalo [x₀, x₁] O limite destas taxas médias de variação, quando ∆x → 0,é chamado de taxa de variação instantânea de y em relação a x, em x= x₀. Assim, temos:

Taxa de variação instantânea =

Portanto, a taxa de variação instantânea de uma função em um ponto é dada pela sua derivada neste ponto.

2. Interpretação Geométrica: a derivada de uma função f em um ponto a fornece o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)). Vejamos:

Dada uma curva plana que representa o gráfico de f, se conhecermos um ponto P(a.f(a)), então a equação da reta tangente r à curva em P é dada por y - f(a) = m (x - a), onde m é o coeficiente angular da reta. Portanto, basta que conheçamos o coeficiente angular m da reta e um de seus pontos, para conhecermos a sua equação. Mas como obter m para que r seja tangente à curva em P?

Consideremos um outro ponto arbitrário sobre a curva, Q, cujas coordenadas são (a+∆x,f(a+∆x)). A reta que passa por P e Q que é chamada reta secante à curva.

Analisemos agora a variação do coeficiente angular da reta secante fazendo Q se aproximar de P, ou seja, tomando ∆x cada vez menor.

Tudo indica que quando P está próximo de Q, o coeficiente angular msec da reta secante deve estar próximo do coeficiente angular m da reta r, ou seja, o coeficiente angular msec tem um limite m quando Q tende para P, que é o coeficiente angular da reta tangente r.

Indicando-se