Demonstração de regras de derivação

Regras de derivação

Propriedades básicas

Se f(x) = k.g(x) → f'(x) = k.g'(x)

Ou seja, a constante é mantida e multiplica o resultado da derivada da função g(x).

Se f(x) = u(x) ± v(x) → f'(x) = u'(x) ± v'(x)

Ou seja, a derivada de uma função que é resultado de uma soma ou subtração de duas funções, é a soma ou subtração das derivadas dessas funções.

Se f(x) = u(x).v(x) → f'(x) = u'(x).v(x) + u(x).v'(x)

Ou seja, se uma função é resultado do produto de duas funções, sua derivada é dada pela soma entre, a derivada da primeira vezes a segunda e a primeira vezes a derivada da segunda.

Se f(x) = 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) -> f'(x) = 𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥)−𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥)(𝑣)2

Ou seja, se uma função é resultado do quociente de duas funções, sua derivada é dada pela diferença entre a derivada da primeira vezes a segunda e a primeira vezes a derivada da segunda, tudo dividido pela segunda ao quadrado.

Derivadas dos principais tipos de funções

Função constante

A derivada de uma função constante sempre é 0, ou seja, se o valor de y, independe de x, a derivada da função é 0.

Exemplo:

f(x) = k

f'(x) = limℎ→0𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)ℎ

f'(x) = limℎ→0𝑘−𝑘ℎ

f'(x) = limℎ→00ℎ

f'(x) = limℎ→00

f'(x) = 0

Função identidade

A derivada da função identidade é 1.

f(x) = x

f'(x) = limℎ→0𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)ℎ

f'(x) = limℎ→0𝑥+ℎ−(𝑥)ℎ

f'(x) = limℎ→0ℎℎ

f'(x) = limℎ→01

f'(x) = 1

Exemplo:

f(x) = 3x

f'(x) = limℎ→0𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)ℎ

f'(x) = limℎ→03(𝑥+ℎ)−3(𝑥)ℎ

f'(x) = limℎ→03ℎℎ

f'(x) = limℎ→03

f'(x) = 3

Função afim

Seja a função afim dada pela seguinte lei de formação:

f(x) = ax + b

f’(x) = a

Exemplo:

f(x) = 3x + 4

f'(x) = limℎ→0𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)ℎ

f'(x) = limℎ→03(𝑥+ℎ)+4 −(3𝑥+4)ℎ

f'(x) = limℎ→03𝑥+3ℎ−3𝑥ℎ

f'(x) = limℎ→03ℎℎ

f'(x) = limℎ→03

f'(x) = 3

Derivada de uma potência

Seja a função f(x) = 𝑥𝑛

Sua derivada é dada por:

f'(x) = 𝑛𝑥𝑛−1

Exemplo:

f(x) = 𝑥5+4𝑥2+𝑥−10

Para achar a derivada dessa função, deve-se tratar cada termo como uma função diferente, de acordo com a regra de derivada de funções resultantes da soma de outras funções.

Sendo u(x) = 𝑥5; v(x) = 4𝑥2; z(x) = x; k(x) = -10

u'(x) = limℎ→0𝑢(𝑥+ℎ)−𝑢(𝑥)ℎ

u'(x) = limℎ→0(𝑥+ℎ)5−(𝑥)5ℎ

u'(x) = limℎ→0(𝑥5+5𝑥4.ℎ+10𝑥3.ℎ2+10𝑥2.ℎ3+5𝑥.ℎ4+ℎ5)−𝑥5ℎ

u'(x) = limℎ→05𝑥4.ℎ+10𝑥3.ℎ2+10𝑥2.ℎ3+5𝑥.ℎ4+ℎ4ℎ

u'(x) = limℎ→0(ℎ(5𝑥4+10𝑥3.ℎ+10𝑥2.ℎ2+5𝑥.ℎ3+ℎ4)ℎ

u'(x) = limℎ→05𝑥4+10𝑥3.ℎ+10𝑥2.ℎ2+5𝑥.ℎ3+ℎ4

u'(x) = limℎ→05𝑥4

u'(x) = 5𝑥4;

v(x) = 4𝑥2

v'(x) = limℎ→0𝑣(𝑥+ℎ)−𝑣(𝑥)ℎ

v'(x) = limℎ→0(4(𝑥+ℎ)2−4𝑥2)ℎ

v'(x) = limℎ→0(4(𝑥2+2𝑥ℎ+ℎ2)−4𝑥^2ℎ

v'(x) = limℎ→04𝑥2+8𝑥ℎ+4ℎ2−4𝑥2ℎ

v'(x) = limℎ→08𝑥ℎ+4ℎ^2ℎ

v'(x) = limℎ→0ℎ(8𝑥+4ℎ)ℎ

v'(x) = limℎ→08𝑥+4ℎ

v'(x) = limℎ→08𝑥

v'(x) = 8x;

z(x) = x

Como dito anteriormente, a derivada da função identidade é 1, então:

z'(x) = 1;

k(x) = -10

Como dito anteriormente, a derivada da função constante é 0, então:

k'(x) = 0

Agora basta juntar todas as partes da derivada da função.

f'(x) = u'(x) + v'(x) + z'(x) + k'(x)

f'(x) = 5𝑥4+8𝑥+1+0

f'(x) = 5𝑥4+8𝑥+1

Derivada da função composta (regra da cadeia)

Seja uma função y = f(g(x)), se as derivadas de f(x) e g(x) existirem, e a de y também existir, ela é dada pela seguinte regra.

y'