Derivados de funções em forma paramétrica

6.11 Derivada de Funções na Forma Paramétrica

As coordenadas x e y de um ponto sobre uma curva são expressas muitas vezes como funções de uma terceira variável, ou parâmetro t, sob a forma , que são as equações paramétricas da curva.

Exemplo:

Eliminando t, obtemos a equação retangular do círculo

Derivada

Como y é função de t e t é função de x, temos pela regra da cadeia:

Exemplo:

Vamos encontrar , sendo e .

Solução:

6.12 Reta Tangente e Reta Normal

6.12.1 Na Forma Explícita da Função

A equação da tangente a uma curva em um ponto é dada por:

Chama-se normal da curva em um ponto , a reta que é perpendicular à tangente passando por esse ponto. Da geometria analítica sabemos que, para que duas retas sejam perpendiculares em um ponto x, devemos ter:

onde resulta a equação da normal em x:

Exemplos:

1) Seja . Determine as equações das retas tangente e normal no ponto de abcissa 1.

Solução:

2) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de e paralela à reta .

Solução:

6.12.2 Na Forma Paramétrica

Seja a função na forma paramétrica . O coeficiente angular da reta tangente à função em é dado por: . O coeficiente angular da reta normal à função em é dado por: .

Exemplo:

Obter as equações da tangente e da normal à curva no ponto t = 1, sendo .

Solução:

6.13 Taxa de Variação Média e Instantânea

Exemplos de aplicação:

• Um microbiologista pode estar interessado na taxa segundo a qual o número de bactérias em uma colônia varia com o tempo;

• Um economista pode estar interessado na taxa segundo a qual o custo de produção varia com a quantidade de produtos manufaturados;

• Um pesquisador em medicina pode estar interessado na taxa segundo a qual o raio de uma artéria varia com a concentração de álcool na correntes sanguínea.

Definição:

1) Se , então a taxa de variação média de y em relação à x no intervalo é a inclinação da reta secante ao gráfico d f que passa pelos pontos e , isto é:

2) Se , então a taxa de variação instantânea de y em relação à x no ponto é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto .

Exemplo:

Um cientista acha que, se determinada substância for aquecida, a temperatura em C após t minutos, , será dada por .

a) Determine a taxa média de variação de no intervalo de tempo ;

b) Determine a taxa instantânea de variação de quando t = 4.

Solução:

6.14 Derivadas Sucessivas

Seja definida em um intervalo. A derivada é também uma função neste intervalo. Se for também derivável, a sua derivada é denominada derivada segunda da função e representaremos por ou e assim sucessivamente. Denotaremos por ou a derivada de ordem n de .

Exemplo:

Calcule das seguintes funções:

a) b) c)

6.15 Interpretação Cinemática das Derivadas

6.15.1 Velocidade Média e Instantânea

A distância s percorrida por um ponto material calculada a partir de uma posição inicial , depende do tempo t, isto é, uma função do tempo.

A velocidade média do móvel entre dois tempos e t, pode ser calculada, usando

, que é o coeficiente .

A velocidade instantânea do móvel em um instante pode ser calculada, usando que é o coeficiente .

Exemplos:

1) Segundo a lei do movimento uniformemente acelerado com e , calcule a velocidade de um móvel que obedece esta lei no instante segundos (s em metros).

Solução:

2) Uma partícula se move segundo a função . Em que instante sua velocidade é nula?

Solução:

6.15.2 Aceleração Média e Instantânea

Sendo s a distância percorrida por um móvel através do tempo, tem-se .

Chama-se aceleração média entre os tempos e , o quociente entre a diferença das velocidades em e e a diferença entre e . Ou seja:

Chama-se aceleração instantânea