Desafios Matemáticos

Caros alunos e professores

Desde a sua primeira edição em 2005 o Banco de Questões (BQ)

mostrou ser um material motivante para alunos e professores. O seu

objetivo é divulgar nas escolas públicas problemas de olimpíadas nacionais

e internacionais, por isso grande parte do BQ não é de questões

originais. A nossa idéia é que o BQ seja um material informal, no modelo

apostila, que entusiasme alunos e professores. Não há qualquer

preocupação com uniformidade de conteúdos ou de níveis de dificuldade

dos problemas. A nossa principal meta é: problemas interessantes

que despertem o prazer de raciocinar.

A publicação do BQ completou 5 anos em 2009, perfazendo 678 problemas

e suas soluções, e 50 desafios. Esse material preparado nesses

anos serve agora para compor o BQ-2010, que apresentamos dividido

em 3 níveis. Os problemas foram agrupados em níveis apenas por uma

questão de organização, encorajo todos os alunos a “passearem” pelos

3 níveis.

Você pode ou não conseguir resolver os problemas, mas vale a pena

tentar... não desista na primeira vez, nem na segunda, nem na terceira...!

Persistência é essencial e bom humor é fundamental! É assim

que se aprende Matemática.

Nesses 5 anos o BQ tem servido para ótimos “bate-papos” com alunos e

professores, que gentilmente me escrevem apontando erros de digitação

ou nas respostas. Espero continuar recebendo essas valiosas críticas e

sugestões.

Um convite: se você tem soluções diferentes das apresentadas no BQ

envie para [e-mail] que nós as publicaremos em nosso site.

Agradeço a Eduardo Brietzke (UFRGS) e Claus Doering (UFRGS)

o trabalho dedicado e competente de revisão e, principalmente, de

enriquecimento de todo o material do BQ-2010.

Banco

de

Questões

2005

2006

2007

2008

2009

2010

Suely Druck

Diretora Acadêmica da OBMEP

OBMEP 2010 i

Texto já revisado pela nova ortografia.

ii OBMEP 2010

Conteúdo

Nível 1 1

Nível 2 35

Nível 3 69

Desafios 105

Soluções do Nível 1 114

Soluções do Nível 2 182

Soluções do Nível 3 259

Soluções dos Desafios 347

Nível 1

Nível 1

1. Qual é o número? – Quando Joana entrou em sua

sala de aula, a professora estava apagando o quadro negro,

mas ela ainda pôde ver algo escrito, conforme mostra

a figura. Qual é o número que foi apagado?

(a) 8 (b) 9 (c) 11 (d) 12 (e) 13

2. Muro em 15 dias – Um pedreiro é capaz de assentar 8 metros de muro por dia.

Quantos metros de muro esse pedreiro consegue assentar em 15 dias?

(a) 104 (b) 110 (c) 120 (d) 128 (e) 112

3. Medindo pilhas de papel – Numa papelaria, são armazenados pacotes de papel em

pilhas de 60 pacotes. Cada pacote tem 500 folhas de papel e cada folha de papel tem

uma espessura de 0,1 mm. Ignorando a espessura do papel utilizado para embrulhar os

pacotes, podemos afirmar que a altura de uma pilha de 60 pacotes é aproximadamente

igual à altura de:

(a) uma pessoa adulta; (d) um prédio de 10 andares;

(b) um bebê de um ano; (e) uma sala de aula.

(c) uma mesa comum;

4. Quanto pesa? – A balança da figura está em equilíbrio com bolas e saquinhos de

areia em cada um de seus pratos. As bolas são todas iguais e os saquinhos também.

O peso de um saquinho de areia é igual ao peso de quantas bolas?

(a) 1

(b) 2

(c) 3

(d) 5

(e) 6

5. Calcule a diferença – Considere dois números naturais, cada um deles com três

algarismos diferentes. O maior só tem algarismos pares e o menor só tem algarismos

ímpares. Se a diferença entre eles é a maior possível, qual é essa diferença?

(a) 997 (b) 777 (c) 507 (d) 531 (e) 729

6. Qual é o volume? – Três frascos, todos com capacidade

igual a um litro, contêm quantidades diferentes de um mesmo

líquido, conforme ilustração. Qual das alternativas abaixo

melhor expressa, aproximadamente, o volume do líquido contido