Determinantes e suas propriedades

Determinantes e suas Propriedades

As propriedades dos determinantes, que discutiremos a seguir são válidas quaisquer que seja a ordem dos determinantes. No entanto, nas demonstrações que seguem, utilizaremos determinantes de ordem 2 e 3, para facilitar a compreensão.

1ª Se trocarmos duas linhas ou duas colunas de uma matriz quadrada, seu determinante troca somente de sinal.

Exemplos da propriedade 1 estão abaixo onde foram trocadas a segunda linha pela terceira e vice-versa.

Exemplos:1 Exemplo:2 Exemplo:3

Exemplo: 4) A = e B=

A matriz B foi obtida a partir de A, trocando a 1° e a 2° coluna.

Det A= -45-84+96-105-48-72=96-354= - 258

Det B= 72+48+105-96+84+45= - 96+354= 258.

Então det A e det B são números opostos.

Exemplo: 5)

2ª Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada por um número k, seu determinante será multiplicado por este número k.

Exemplo: 1)

Exemplo: 2

Observe os exempos abaixo onde a primeira linha da segunda matriz é 5 vezes a primeira linha da primeira matriz:

Exemplo :3 Exemplo:4 Exemplo:5

Em geral, se multiplicamos todos os elementos de uma matriz quadrada de ordem n por um número k, seu determinante será multiplicado por kn.

3ª Se a uma linha ou coluna de uma matriz quadrada somamos outra paralela a ela multiplicada por um número, seu determinante não altera.

Nas Matrizes abaixo, a segunda linha foi substituída pela soma do dobro da primeira com a segunda, veja:

Exemplo:1 Exemplo:2 Exemplo:3

Exemplo:4)

Exemplo:5)

Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:

4ª O determinante de uma matriz quadrada coincide com o determinante de sua trasposta, ou seja,

Det ( A ) = Det ( At )

As matrizes abaixo, são exemplos da propriedade 4 onde a segunda matriz é a transposta da primeira.

Exemplo:1 Exemplo:2 Exemplo:3

Exemplo: 4) A= e At = então det A = -2 e det At = -2 então temos que det A = det At

Exemplo:5

5ª O determinante do produto de duas matrizes quadradas de mesma ordem é igual ao produto dos determinantes destas matrizes:

Det ( A . B ) = Det ( A ) . Det ( B ).

Exemplo:1

Exemplo:2

A= , B=

A.B= então det (A.B) = 36 + 42 = 78

E det A. det B = (-3-10).(0-6) = (-13).(-6) = 78

Exemplo:3

Exemplo:4