Diretamente proporcional

A proporção direta corresponde à mais simples relação que pode existir entre duas grandezas ou variáveis, sendo seguida pela variação linear. Certamente há um número enorme de relações que não se enquadram nos casos acima, mas por serem estes facilmente acessível à nossa cognição, e comum descreverem-se relações mais complexas com o mesmo raciocínio sempre que possível. O cálculo integral e diferencial provê ferramentas para reduzir qualquer relação "bem comportada" mais complexa à relação de variação linear (ou quando possível à proporção direta, que é um caso especial desta), se não em toda a extensão de seu domínio pelo menos localmente (em torno de um ponto específico).

Contudo há casos em que as relações mais complexas podem ser reduzidas à proporcionalidade de forma bem mais simples, bastando para tal uma ou mais trocas de variáveis. A exemplo, considere uma relação estabelecida pela regra Y = 5X² . Certamente os valores de y e x não guardam proporção direta, algo facilmente verificável na tabela que se segue ao ter-se em vista as propriedades características de uma proporção direta: uma coluna é um múltiplo da outra, e duas linhas guardam razão entre si.

Contudo, construíndo-se uma terceira coluna onde figuram agora não os valores de X mas sim os valores x² de uma nova variável nomeada Z, ver-se-á facilmente que os valores de Y são agora diretamente proporcionais aos valores de Z mediante constante de proporcionalidade igual a 5. Isto possibilita dizer com segurança que "Y é diretamente proporcional a Z". Como Z foi definido como o quadrado de X, tem-se:

"Y é diretamente proporcional ao quadrado de X"

, onde subentende-se que o quadrado de x funciona como uma variável única.

Com a troca de variáveis foi possível reduzir-se a função parabólica dada (Y=5X²) à condição de uma proporção direta (Y = 5Z). Embora este processo não seja aplicável a qualquer função parabólica, ele o é sempre que figuar apenas o termo ax², o que nos leva à variação com o quadrado, e é também aplicável a vários outros casos, como na relação inversa (Z= 1/x) e na variação com o inverso do quadrado (z=1/x²).

O processo de troca de variáveis mostra-se muito útil principalmente em problemas ligados às ciências naturais. Na lei de Coulomb, a força elétrica F entre duas cargas puntuais é diretamente proporcional ao inverso do quadrado da distância r entre as cargas, mostrando que a troca de variáveis Z=1/r² leva à F \alpha Z .

Muitas vezes há a necessidade de duas trocas de variáveis. A terceira lei de Kepler sobre o movimento planetário estabelece que "Os quadrados dos períodos de translação T dos planetas são proporcionais aos cubos dos eixos maiores D de suas órbitas". Neste caso tem-se que fazer W=T² e Z =D³ para se obter a proporção direta W \alpha Z . Nestes termos o quadrado do período e o cubo do comprimento do eixo maior funcionam como variáveis, e não o período e o comprimento do eixo propriamente ditos.

Há diversos outros casos em que este processo se aplica. É comum o seu uso para linearizar relações exponenciais e logaritmas - comuns também em ciências naturais. Há de se ressaltar contudo que em todos os casos, incluso todos os anteriormente relatados, considerações