Distribuição Normal

1. Distribuição Normal: O que é?

A distribuição normal é uma das mais importantes distribuições da estatística, conhecida também como Distribuição de Gauss ou Gaussiana.[1][2][3][4][5] Foi primeiramente introduzida pelo matemático Abraham de Moivre.

Além de descrever uma série de fenómenos físicos e financeiros, possui grande uso na estatística inferencial. É inteiramente descrita por seus parâmetros de média e desvio padrão, ou seja, conhecendo-se estes consegue-se determinar qualquer probabilidade em uma distribuição Normal.

Um interessante uso da Distribuição Normal é que ela serve de aproximação para o cálculo de outras distribuições quando o número de observações fica grande. Essa importante propriedade provém do Teorema Central do Limite que diz que "toda soma de variáveis aleatórias independentes de média finita e variância limitada é aproximadamente Normal, desde que o número de termos da soma seja suficientemente grande" (ver o teorema para um enunciado mais preciso).

3. História

A distribuição normal foi introduzida pela primeira vez por Abraham de Moivre em um artigo no ano 1733, que foi reproduzido na segunda edição de seu The Doctrine of Chances (1738) no contexto da aproximação de distribuições binomiais para grandes valores de n. Seu resultado foi estendido por Laplace, em seu livro Analytical Theory of Probabilities (1812), e agora é chamado o teorema de Moivre-Laplace.

Laplace usou a distribuição normal na análise de erros de experimentos. O importante método dos mínimos quadrados foi introduzido por Legendre, em 1805. Gauss, que alegou ter usado o método desde 1794, justifica-o rigorosamente em 1809 assumindo uma distribuição normal para os erros. O fato de muitas vezes esta distribuição ser chamado de distribuição gaussiana pode ser um exemplo de Stigler's Law.

O nome "curva em forma de sino" ou "curva de sino" remonta a Esprit Jouffret que primeiro utilizou o termo "superfície de sino" em 1872 para um normal bivariada com componentes independentes (atentar que nem toda curva de sino é uma gaussiana). O nome "distribuição normal", foi inventado independentemente por Charles S. Peirce, Francis Galton e Wilhelm Lexis, por volta de 1875.

4. Propriedades da Curva Normal

Sejam a e b constantes conhecidas.

• Se X segue uma distribuição normal, X ~ N(μ,σ2), então aX + b ~ N(aμ + b,a2σ2).

• Se X e Y são variáveis aleatórias independentes que seguem distribuição normal, então a soma U = X + Y, a diferença V = X - Y ou qualquer combinação linear W = a X + b Y também são variáveis aleatórias com distribuição normal.

o É fácil construir exemplos de distribuições normais X e Y dependentes (mesmo com correlação zero) cuja soma X + Y não é normal. Por exemplo, seja X uma distribuição normal padrão (média 0 e variância 1), então fixando-se um número real positivo a, seja Ya definida como X sempre que |X| < a e -X sempre que |X| ≥ a. Obviamente, Ya também é uma