EDO Aplicações

Questão: Um novo produto é introduzido através de uma campanha de propaganda junto a uma população de 1 milhão de clientes potenciais. Supõe-se que a taxa a qual a população ouve falar do produto seja proporcional ao número de pessoas que ainda não conhecem o produto. Ao cabo de 1 ano, metade da população já tomou conhecimento do produto. Quantos terão ouvido falar do produto ao final de 2 anos?

Solução:

. P(t) = número de pessoas que conhecem o produto( no tempo t ).

. N = número total de pessoas = 1 000 000.

. N – P(t) = número de pessoas que ainda não conhece o produto( no tempo t ).

Observações iniciais:

. P(0) = 0, pois no instante inicial ninguém conhece o produto

. P(1) = 500 000 = n/2 , pois o enunciado nos diz isso.

Ainda de acordo com o enunciado:

dp/dt=k(N-P(t))

Na expressão acima, dp/dt é a taxa na qual a população ouve falar do produto e K é a constante da proporcionalidade.

Separando as variáveis:

dP/((N-P(t)) )=kdt

Integrando ambos os lados:

∫▒〖dP/(N-P(t)= ∫▒kdt〗

Após manipular algebricamente e aplicando regras básicas de integração em ambos os lados:

(-1) ln⁡(P(t)-N)=kt+C

Após mais manipulações algébricas:

P(t)=C_3*e^(-kt)+N

O próximo passo é determinar os valores de C_3 e de k. Para tanto, vamos utilizar as observações inicias.

Colocando t = 0 obtemos

P(0)=C_3*1+N= C_3+N

Mas já vimos que P(0) = 0, logo C_3+N = 0, ou seja C_3= -N portanto:

P(t)= -N*e^(-kt)+N

P(t)=N(1-e^(-kt))

Agora, colocando t = 1 obtemos

P(t)=N(1-e^(-k))

Mas já vimos que P(1)=N/2

N(1-e^(-kt) )=N/2

-k=ln⁡〖1/2〗

Portanto:

P(t)=N(1-e^(ln⁡(1/2)*t))

P(t)=1000000(1-e^(-ln⁡(1/2)t))

Para responder ao problema, basta por t = 2 nesta última expressão

P(t)=1000000(1-e^(-ln⁡(1/2)2))