EQUAÇÃO Primeiro e segundo graus C

MÓDULO IV

EQUAÇÕES DE

PRIMEIRO E SEGUNDO GRAU COM

UMA INCÓGNITA

MÓDULO IV – EQUAÇÕES DE 1º E 2º GRAU COM UMA INCÓGNITA

O objetivo deste módulo é revisar a resolução de equações de 1º e 2º grau na incógnita x. A resolução destas equações quando seus coeficientes são numéricos não apresentam grandes problemas. No entanto,é nas equações literais, ou seja, quando os coeficientes também são incógnitas ou variáveis, que a resolução pode parecer um pouco mais complexa.

Separamos o capítulo em 2 partes: 1ª Parte: Equações de 1º grau com 1 incógnita.

2ª Parte: Equações de 2º grau com 1 incógnita.

1ª PARTE: EQUAÇÕES DE 1º GRAU COM 1 INCÓGNITA

As equações abaixo são equações de primeiro grau. Observamo que elas têm apenas uma “letra”, cujo expoente é 1 (quando o expoente não aparece assumimos que ele vale 1), esta letra será chamada de variável e os números da equação serão chamados de coeficientes.

As equações abaixo são equações de primeiro grau, mas observando-as verificamos que elas têm mais de uma “letra”. Neste caso é preciso definir qual delas será a variável e desta forma as outras letras que aparecem serão tratadas como números.

Nas equações (e), (f) e (g), as variáveis m, p, a e b serão tratadas como números, elas serão chamadas de coeficientes, pois estamos assumindo que a variável da equação será “x” .

RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE 1º GRAU NA INCÓGNITA “X”

Resolver uma equação de 1º grau na incógnita x, significa determinar o valor de x que satisfaça a equação dada.

Exemplos: Resolver as equações dadas assumindo que x é a variável:

a)

x =10/5

 pois

b) mx + p = 0

será?

Neste exemplo a resolução parece simples, mas por estarmos trabalhando com letras a verificação não é tão imediata e nem tão fácil de visualizar.

Vejamos como deve ser feita a verificação neste caso:

Devemos substituímos na equação para verificar se a igualdade será satisfeita:

Se o valor de x não estivesse correto não chegaríamos a uma igualdade. Observemos o exemplo a seguir:

c)

Neste caso, pela verificação, notamos que a resolução não está correta .

Surge então a pergunta : “O que foi feito errado?”

Observe:

Continuando a resolução e seguindo o raciocínio de passar para o outro lado, é muito comum dizermos que o número –3 que está multiplicando vai passar dividindo com sinal contrário.

E é nessa passagem que acontece o erro!!

Uma equação é uma igualdade, e para que esta igualdade não seja alterada, toda operação aplicada em um dos membros da equação deve ser aplicada no outro, este método é chamado de princípio de equivalência de equações.

Observe: . Mas se elevarmos apenas um dos membro da equação ao quadrado:

a igualdade será alterada, pois teremos

Agora se elevarmos os dois membros (lados) da equação ao quadrado teremos: , e a igualdade não será alterada , pois teremos 25 = 25.

Assim para resolvermos a equação , devemos isolar a variável x e começaremos eliminando o número “6” do 1º membro da equação, subtraindo dos dois membros o número “6”.

Teremos então :

Para eliminarmos o número “–3” que multiplica “x” , devemos dividir os 2 membros da equação por “–3”.

E fazendo as devidas simplificações temos que

Se os sinais negativos atrapalham, então antes da divisão multiplicamos os dois membros da equação por “ –1”.

Obtendo :

E então dividimos os dois membros da equação por “3”.

E da mesma forma fazendo as devidas simplificações otemos:

A seguir trazemos a verificação da solução encontrada substituindo na equação :

-3.x + 6 = 0

-3. 2 + 6 = 0

Outros exemplos:

d) Resolver a equação .

Solução :

Se você tem dificuldade de entender esta resolução, siga algumas dicas:

No 1º membro, temos 7x – x, onde “x” é o fator comum e podemos colocá-lo em evidência.