EQUAÇÕES DIFERENCIAS

CAPA

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO 3

MODELAGEM 4

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 7

Equação diferencial ordinária (EDO) 7

Ordem e grau de uma EDO 7

EDO linear de ordem n 8

Solução de uma EDO 8

EDO de primeira ordem 8

EDO separáveis 9

EDO homogenias 9

EDO exata 10

EDO lineares 10

EDO não lineares redutíveis a lineares 12

MODELAGEM DE CIRCUITO ELÉTRICO 12

Circuitos RC sem Fontes 12

Potência instantânea absorvida pelo resistor R: 14

Constante de Tempo 14

Propriedade das funções exponenciais: 16

BIBLIOGRAFIA 17

INTRODUÇÃO

MODELAGEM

Os modelos podem ser físicos ou matemáticos.

Os físicos são os protótipos e plantas-piloto e os matemáticos são as representações abstratas da realidade através de equações.

O que é um modelo matemático?

"É uma representação dos aspectos essenciais de um sistema, que apresenta conhecimento desse sistema em uma forma utilizável." (Eykhoff, 1974)

"É um sistema de equações, cuja solução dado um conjunto de dados de entrada, é representativa da resposta do processo." (Denn, 1986)

"Um modelo nada mais é do que uma abstração matemática ele um processo real." (Seborg et al, 2004)

A modelagem matemática de um sistema dinâmico é definida como um conjunto de equações que representam a dinâmica do sistema com precisão ou, pelo menos, de forma bastante aceitável.

A dinâmica de muitos sistemas sejam eles mecânicos, elétricos, térmicos, econômicos, biológicos etc., podem ser descrita em termos de equações diferenciais. Tais equações diferenciais podem ser obtidas utilizando-se as leis físicas que governam um sistema particular, como por exemplo, as leis de Newton dos sistemas mecânicos e as leis de Kirchhoff dos sistemas elétricos.

Para se usar equações diferenciais nos diversos campos em que são úteis é preciso, primeiro, formular a equação diferencial apropriada que descreve, ou modela o problema em questão. Ao construir modelos matemáticos futuros, você deve reconhecer que cada problema é diferente e que a arte de modelar não é uma habilidade que pode ser reduzida a uma lista de regras, a construção de um modelo satisfatório é, algumas vezes, a parte mais difícil de um problema. Podemos desenvolver uma equação diferencial se conseguirmos identificar alguns passos que fazem, freqüentemente, parte do processo.

Como:

Identificar as variáveis independentes e dependentes e atribuir a elas letras para representá-las.

Escolha a unidade de medida de cada variável, como por exemplo, para um objeto em queda o tempo em segundos e em meses para um problema populacional.

Use principio básico implícito ou a lei que rege o problema em investigação. Isso pode ser uma lei amplamente conhecida, como a lei do movimento de Newton, ou pode ser uma hipótese baseada na sua própria experiência ou observação.

Expresse o principio ou lei do passo 3 em função das variáveis do passo 1. Isso pode não ser muito fácil, pois pode precisar incluir variáveis auxiliares, ou intermediárias, que tem que está relacionada com as variáveis primárias.

Certifique-se que cada parcela em sua equação está nas mesmas medias física.

Aqui podemos verificar dois exemplos, um que podem ser usados um para a engenharia com a fórmula dos sistemas mecânicos de Newton e outra para controle de crescimento populacional.

Exemplo:

Um objeto em queda.

Suponha que um objeto está caindo na atmosfera, perto do nível do mar. Formule uma equação diferencial que descreva o movimento.

Seguindo os passos anteriores:

O movimento corre durante um intervalo de tempo t, além disso, vamos usar v para a velocidade do objeto em queda. Como a velocidade varia com o tempo, podemos considerar v como uma função de t; em outras palavras t é variável independente e v é a variável dependente. Vamos então medir o tempo em segundos (s) e a velocidade em metros por segundos (m/s). Além disso, vamos supor que a velocidade de v seja positiva mesmo que seu sentido esteja para baixo.

A lei da física que governa a lei dos movimentos dos objetos é a segunda lei de Newton, que diz que a massa vezes a sua aceleração é o resultado da força total que está atuando nesse objeto. Em representação matemática:

F=m.a

Onde m é a massa em (Kg), a sua aceleração (m/s2) e F a força (N) total agindo sobre o objeto. É claro que a e v estão relacionados por:

a=dv/dt

De modo que podemos reescrever a equação da seguinte forma:

F=m.(dv/dt)

A seguir considere as forças que agem sobre um objeto em queda. A gravidade exerce uma força igual ao peso do objeto, ou mg , onde g é a aceleração da gravidade medidos em (m/s2) e que foi determinada como sendo aproximadamente 9,8 m/s2 . Existe também a força de resistência do ar o que é mais difícil de modelar, como não nos aprofundaremos no estudo da