Educação matemática conjuntos matemáticos básicos

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Conjuntos

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INTRODUÇÃO

A Teoria dos Conjuntos, um dos temas de matemática que aparecem no Enem, foi formulada no fim do século XIX pelo matemático russo Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor. Conjuntos não podem ser definidos, mas entende-se por conjunto toda lista de objetos, símbolos que seja bem definida.

Conceitos primitivos:

- Conjunto;

- Elemento;

- Pertinência.

Ao pensarmos em uma coleção de objetos, podemos associar a conjunto. Esses objetos da coleção são o que chamamos de elementos do conjunto. Se um elemento está presente em um conjunto, dizemos que o elemento pertence (∈) ao conjunto. Caso contrário, dizemos que ele não pertence.

SÍMBOLOS

A linguagem escrita pode ser simplificada com os símbolos descritos nos exemplos a seguir:

- O elemento 1(um) pertence ao conjunto A: 3∈A

- O elemento 3 não pertence ao conjunto A: 3∉A

- Existe algum: ∃

- Qualquer que seja: ∀

- Tal que: |

Conjuntos importantes:

- Conjunto vazio: não possui nenhum elemento. É representado por ∅ ou { }.

- Conjunto unitário: possui um único elemento.

REPRESENTAÇÕES

Um conjunto pode ser representado da seguinte maneira:

Enumerando seus elementos entre chaves, separados por vírgulas;

Exemplos:

A = {–1, 0, 1}

ℕ = {0, 1, 2, 3, 4,...}

Indicando, entre chaves, uma propriedade que caracterize cada um de seus elementos;

Exemplos:

A=x∈Z |−2<x<2

N=x∈Zx≥0

Por meio de uma figura fechada, dentro da qual podem-se escrever seus elementos. “Diagrama de Venn-Euler”.

Conjuntos (Foto: Colégio Qi)

A N

Conjuntos Iguais

Os conjuntos A e B são iguais quando possuem os mesmos elementos. Representa-se A = B.

Subconjuntos

O conjunto A é subconjunto de B se todo elemento de A é elemento de B. Representa-se A⊂B(A está contido em B).

Propriedades:

Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, tem-se:

- A ⊂ A

- ∅⊂ A

- (A⊂B e B⊂A)⇔A=B

- (A⊂B e B⊂C)=>A⊂C

Conjunto das partes

É o conjunto cujos elementos são os subconjuntos de A. É representado por P(A).

Propriedade: se o conjunto A possui n elementos, então P(A) possui 2n elementos, ou seja, o conjunto A possui 2n subconjuntos.

OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

União

Intuitivamente, unir dois ou mais conjuntos significa agrupá-los com intuito de torná-los um s

Definição:

Dados dois conjuntos A e B, representa-se e define-se o conjunto união de A e B por:

A∪B= {xx∈A ou x∈B}

Conjuntos (Foto: Colégio Qi)

- A∪∅ = A (elemento neutro);

- A∪A = A (recíproca)

- A∪B=B∪A (comutativa)

- A∪(B∪C)=(A∪B)∪C (associativa)

Exemplos:

Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5, 7} e C = {5, 6, 7, 8, 9}, vamos obter:

a) A ∪ B.

b) A ∪ B ∪ C.

Solução:

a) A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7}

b) A ∪ B ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Interseção

Intuitivamente, um elemento faz parte da interseção de dois ou mais conjuntos, se ele pertence a todos esses conjuntos ao mesmo tempo.

Definição: Dados dois conjuntos A e B, representa-se e define-se o conjunto interseção de A e B por:

A ∩ B = {x  x ∈ A e x ∈ B}

Conjuntos (Foto: Colégio Qi)

Para três conjuntos arbitrários A, B e C, valem as seguintes propriedades:

- A ∩ ∅ = ∅

- A ∩ A = A (recíproca)

- A ∩ B = B ∩ A (comutativa)

- A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (associativa)

Exemplos:

Dados os conjuntos A = {0, 1, 5}, B = {0, 2, 5, 7}, C = {4, 6, 7, 9} e D = {0, 1, 6}, vamos obter:

a) A ∩ B.

b) A ∩ C.

c) A ∩ B ∩ D.

Solução:

a) A ∩ B = {0, 5}