Empoderamento

ropriedades de =potencias.

O conceito de =potenciação é muito importante no que se refere aos =desenvolvimentos

dos exercícios nos conteúdos de equações e funções =exponenciais, além de outras aplicações, e por este motivo =temos que ter bastante cuidado ao estudar as propriedades e as =principais características da potenciação. Já vimos estas =propriedades nos tópicos anteriores, e também suas principais =características. E hoje vamos fazer um resumo das mesmas, de forma =que sejam assimilados todos os conceitos vistos até aqui.

Vejamos:

A potenciação é uma multiplicação de fatores iguais.

Temos que, (+2).(+2).(+2)=3D(+2)3

Na potência (+2)3 =3D +8, temos:

(+2) =3D Base

3 =3D Expoente

+8 =3D Potência

Para os números inteiros relativos, temos:

1) Bases positivas

Vamos ver quanto vale (+3)2

(+3)2 =3D (+3) . (+3) =3D +9

E quanto vale (+5)4 ?

(+5)4 =3D (+5) . (+5). (+5) . (+5) ==3D +625

Observação: Toda a potência de base positiva é sempre =positiva.

2) Bases negativas

E agora, quanto vale (-3)2?

(-3)2 =3D (-3) . (-3) =3D +9

E quanto vale (-2)3 ?

(-2)3 =3D (-2) . (-2). (-2) =3D -8

Observação:

Toda potência de base negativa é positiva, se o expoente for par, =e é negativa, se o expoente for impar.

Propriedades da potência

I) Toda potência de base 1 é igual a 1.

Exemplos:

12 =3D1

16 =3D1

10 =3D1

1100=3D1

1n =3D1

II) Toda potência de expoente 1 é igual à base.

Exemplos:

21 =3D 2

31 =3D 3

51 =3D 5

01 =3D 0

a1 =3D a

III) Toda potência de expoente zero vale 1.

Exemplos:

10 =3D 1

20 =3D 1

500 =3D 1

a0 =3D 1 com a diferente de zero.

IV) Toda potência de base igual a zero e expoente diferente de zero, =vale zero.

Exemplos:

01 =3D 0

03 =3D 0

05 =3D 0

0n =3D 0 com n diferente de zero

V) Toda potência de base 10 é igual a 1, seguido de tantos zeros =quantas forem as unidades do expoente.

Exemplos:

101 =3D 10

102 =3D 100

103 =3D 1000

OPERAÇÕES COM POTÊNCIAS:

I) Multiplicação de potências de mesma base. =

23 . 22 =3D 23+2 ==3D25

Conserva-se a base e somam-se os expoentes.

Vejamos mais alguns exemplos:

a) 25 . 23 =3D 25+3 ==3D28

b) 37 . 32 =3D 27+2 ==3D39

c) 32 . 3 =3D 32+1 ==3D33

II) Divisão de potências de mesma base:

23 ÷ 22 =3D 23-2 ==3D 2

Conserva-se a base e subtrai-se do expoente do dividendo o expoente do =divisor.

Vejamos outros exemplos:

a) 25 ÷ 22 =3D 25-2 ==3D 23

b) 74 ÷ 73 =3D 74-3 ==3D 7

c) 93 ÷ 92 =3D 93-2 ==3D 9

III) Potência de potência:

( 22 )3 =3D 22.3 ==3D 26

Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.

Vejamos outros exemplos:

a) (34 )2 =3D 34.2 ==3D 38

b) (25 )2 =3D 25.2 ==3D 210

c) (34 )1 =3D 34.1 ==3D 34

IV) Produto elevado a uma potência:

(3 . 5 )2 =3D 32 =. 52

Eleva-se cada fator à potência considerada, ou efetua-se a =multiplicação e eleva-se o resultado à potência considerada. =

(3 . 5 )2 =3D 152 =

Vejamos mais alguns exemplos:

a) (2 . 7 )3 =3D 23 =. 73

b) (2 . 3. 4 )5 ==3D 25 . 35. 45 =

c) (8 . 5 )4 =3D 8=4 . 54

BIBLIOGRAFIA:

GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, ngela (org). Por trás da porta, =que a matemática acontece. Campinas:UNICAMP , 2001.

IMENES, Luiz. ; LELLIS, Marcelo. Matemática. 5a a =8a série . Scipione, 1998.

BIGODE, Antonio José Lopes, 1955 – Matemática hoje é =feita assim / Antonio José Lopes Bigode, - São Paulo:FTD, 2000. =5a série.

GIOVANNI, José Ruy; 1937 – A conquista da matemática =– Nova / José Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy =Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1998. IMENES, Luiz. ; LELLIS, =Marcelo. Matemática. 5a a 8a =série . Scipione, 1998.

Questões:

01. Calcular: 23; (-2)3; =; -23

02. Calcular: (0,2)4; (0,1)3=

03. Calcular: 2-3; (-2)-3; =-2-3

04. O valor da expressão (-1)0 + (-6) : =(-2) – 24 é:

a) 20

b) -12

c) 19,5

d) 12

e) 10

05. (USF) Dadas as expressões A =3D -a2 =– 2a + 5 e B =3D b2 + 2b + 5:

a) Se a =3D 2 e b =3D -2, então A =3D B;

b) Se a =3D 2 e b =3D 2, então A =3D B;

c) Se a =3D -2 e b =3D -2, então A =3D B;

d) Se a =3D -2 e b =3D 2, então A =3D B;

e) Se a =3D -2 e b =3D 2, então A =3D B.

06. (UFSM)

Números que assustam:

* 5,68 bilhões de pessoas vivem hoje no planeta.

* 5,7 bilhões de pessoas eram estimadas para viver no planeta =hoje.

* 90 milhões nascem a cada ano.

* 800 milhões passam fome.

* 8,5 é a média de filhos por mulher em Ruanda.

* 1,4% da renda mundial está nas mãos dos 20% mais pobres.

* 35 milhões de pessoas migraram do hemisfério Sul para o Norte =nas últimas três décadas. (Fonte: ONU)

De acordo com o texto, os números que representam a quantidade de =pessoas que vivem no planeta, nasce a cada ano e passa fome são, =respectivamente:

a) 568 . 109; 9 . 106=; 8 . 106

b) 5,68 . 106; 9 . 10=6; 8 . 106

c) 568 . 107; 9 . 107=; 80 . 107

d) 56,8 . 109; 90 . 10=9; 8 . 109

e) 568 . 108; 90 . 10=6; 80 . 106

07. (FATEC) Das três sentenças abaixo:

I. 2x+3 =3D 2x . 2=3

II. (25)x =3D 52x

III. 2x + 3x =3D 5=x

a) somente a I é verdadeira;

b) somente a II é verdadeira;

c) somente a III é verdadeira;

d) somente a II é falsa;

e) somente a III é falsa.

08. Simplificando a expressão [29 : =(22 . 2)3]-3=, obtém-se:

a) 236

b) 2-30

c) 2-6

d) 1

e) a

09. Se 53a =3D 64, o valor de 5=-a é:

a) –1/4

b) 1/40

c) 1/20

d) 1/8

e) ¼

10. (FUVEST) O valor de (0,2)3 + =(0,16)2 é:

a) 0,0264

b) 0,0336

c) 0,1056

d) 0,2568

e) 0,6256

Resolução:

01. 23 =3D 8; (-2)3 =3D =-8; -23 =3D -8

02. (0,2)4 =3D 0,0016; (0,1)=3 =3D 0,001

03. 2-3 =3D 0,125; (-2)=-3 =3D -0,

POTENCIAÇÃO

É uma multiplicação em série de um número =por si mesmo.

Assim: a) 3 x 3 x 3 x 3 =3D 34 =3D 81 =→→→potê=ncia81expoente4base3

b) an =3D a.a.a. ... .a =3D =→→→potê=nciaaexpoentenbasean

Propriedades das Potências

1ª ) Base 1: potências de base 1 =são iguais a 1

Exemplos:

a) 11 =3D 1

b) 110 =3D 1

2ª) Expoente 1: potências de expoente 1 =são iguais à base.

Exemplos:

a) 71 =3D 7

b) 51 =3D 5

c) x1 =3D x

3ª) Potências de bases iguais

Multiplicação: conservamos a base comum e somamos os =expoentes.

Exemplos:

a) 37 x 3=5 =3D 312

b) 58 x 5 x 29 x =27 =3D 59 x =216

c) 241 + 240 =3D =240 + 1 + 240 ==3D 240 x 21 + =240 =3D 240(2 + =1) =3D 3 x 240

Divisão: Conservamos a base comum e =subtraímos os expoentes.

Exemplos:

a) 28 : 2=5 =3D 23

b) 612 : 6– 3 ==3D 612 – (–3) ==3D 615

4ª) Potências de expoentes iguais

Multiplicação: multiplicamos as bases e =conservamos o expoente comum.

Exemplos:

a) 37 x 2=7 =3D 67

b) 29 x 35 x =27 x 311 =3D =216 x 316 =3D =616

Divisão: dividimos as bases e conservamos o =expoente comum.

Exemplos:

a) 87 : 2=7 =3D 47

b) 313 : 513 =3D =13 53    =

Conseqüência: todo número (diferente de =zero) elevado a zero

=r3a° =3D 1, a 0 ≠ =

125; -2-3 =3D =-0,125

=llx936004 - A

05 - =C

06 - C

=llx936008 - B

09 =- E

10 - =B

POTENCIAÇÃO

É uma multiplicação em série de um número =por si mesmo.

Assim: a) 3 x 3 x 3 x 3 =3D 34 =3D 81 =→→→potê=ncia81expoente4base3

b) an =3D a.a.a. ... .a =3D =→→→potê=nciaaexpoentenbasean

Propriedades das Potências

1ª ) Base 1: potências de base 1 =são iguais a 1

Exemplos:

a) 11 =3D 1

b) 110 =3D 1

2ª) Expoente 1: potências de expoente 1 =são iguais à base.

Exemplos:

a) 71 =3D 7

b) 51 =3D 5

c) x1 =3D x

3ª) Potências de bases iguais

Multiplicação: conservamos a base comum e somamos os =expoentes.

Exemplos:

a) 37 x 3=5 =3D 312

b) 58 x 5 x 29 x =27 =3D 59 x =216

c) 241 + 240 =3D =240 + 1 + 240 ==3D 240 x 21 + =240 =3D 240(2 + =1) =3D 3 x 240

Divisão: Conservamos a base comum e =subtraímos os expoentes.

Exemplos:

a) 28 : 2=5 =3D 23

b) 612 : 6– 3 ==3D 612 – (–3) ==3D 615

4ª) Potências de expoentes iguais

Multiplicação: multiplicamos as bases e =conservamos o expoente comum.

Exemplos:

a) 37 x 2=7 =3D 67

b) 29 x 35 x =27 x 311 =3D =216 x 316 =3D =616

Divisão: dividimos as bases e conservamos o =expoente comum.

Exemplos:

a) 87 : 2=7 =3D 47

b) 313 : 513 =3D =13 53    =

Conseqüência: todo número (diferente de =zero) elevado a zero

=r3a° =3D 1, a 0 ≠ =

5ª) Potências de potência: =(ab)c =3D =ab.c

Exemplos:

a) (37)=2=3D 314

b) (813)2 ==3D 826

Obs.: (322=3≠2)=4, pois 3=3D 34216 =e (32)4 ==3D 38

6ª) Potência de expoente negativo =

a- n =3Dna1 =ou n=a1

Exemplos:

a) 2-7 =3D =721

b) 88=3553=3D?−

Obs.: Se ab =3D c ⇒ =a-b =3D 6ª) Potência de expoente =negativo

a- n =3Dna1 =ou n=a1

Exemplos:

7ª) Potências de base “0”

a) 0n =3D 0, se n > =0.

b) 00 =3D INDETERMINAÇÃO.

c) 0n =3D IMPOSSÍVEL, se n < 0.

Potências de números relativos

1° Caso: o expoente é par: o resultado =será sempre positivo

(salvo se a base for nula).

Exemplos:

a) (- 2)4 =3D + 16

b) (+2)4 =3D + 16

c) 00 =3D 0

2º Caso: o expoente é ímpar: o =resultado terá o sinal original da base.

Exemplos:

a) (- 2)3 =3D - 8

b) (+2)3 =3D + 8

Obs.: (-3)2 ≠ -3=2, pois (-3)2 =3D + 9 e =-32 =3D - 9.