Equacoes Diferenciais E Series

Passo 1

Pesquisar e estudar sobre a modelagem de sistemas por meio de equações diferenciais em sistemas físicos e problemas de engenharia.

Introdução:

Equações diferenciais são ferramentas matemáticas usadas para calcular a evolução de sistemas. O objetivo da modelagem é encontrar a taxa de variação com o tempo das grandezas que caracterizam o problema, ou seja, a dinâmica temporal do sistema de interesse. Resolvendo a equação diferencial (ou sistema de equações diferenciais) que caracteriza determinado processo ou sistema, pode-se extrair informações relevantes

sobre os mesmos e, possivelmente, prever o seu comportamento.

Deve-se ter em mente que a modelagem de um sistema em um conjunto

de equações diferenciais fornece, quase sempre, uma descrição aproximada e

simplificada do processo real. Ainda assim, a modelagem através de equações

diferenciais fornece uma ferramenta poderosa para acessarmos o comportamento

geral de vários tipos de sistemas.

Historicamente, a evolução do ramo da matemática no qual se insere o estudo

das equações diferenciais aconteceu em paralelo com o desenvolvimento

da Física, funcionando como ferramenta de cálculo das equações de movimento

da mecânica newtoniana, das equações de onda da física ondulatória

e do eletromagnetismo e, mais tarde, na formulação da mecânica quântica e

da relatividade. (Veremos modelagem de sistema mais abaixo, conforme solicita-se a ATPS, que estamos realizando).

Hoje em dia, o uso de equações diferenciais foi estendido para as mais

diversas áreas do conhecimento

Uma das principais razões da importância das equações diferenciais é que

mesmo as equações mais simples são capazes de representar sistemas úteis.

Mesmo alguns sistemas naturais mais complexos comportam modelagens em

termos de equações diferenciais bem conhecidas. Por outro lado, problemas

cuja modelagem exige equações diferenciais mais complicadas podem, hoje

em dia, ser tratados através de métodos computacionais.

Assim, o estudo e o desenvolvimento da área de modelagem de sistemas

através de equações diferenciais são de suma importância para a compreensão

de problemas reais.

ASPECTOS TÉCNICOS DO USO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

NA MODELAGEM DE SISTEMAS

O principal desafio que se apresenta na modelagem de sistemas em termos

de equações diferenciais é formular as equações que descrevem o problema a

partir de um conjunto restrito de informações, ou “pistas”, sobre o comportamento

geral do sistema.

Para que o modelo seja uma boa representação da realidade, é de fundamental importância enunciar de

maneira precisa os princípios que governam o sistema de interesse.

Uma vez definido o conjunto de equações diferenciais que descrevem a

dinâmica do sistema, é necessário resolver as equações, ou seja, encontrar

suas soluções. Algumas equações diferenciais possuem soluções analíticas,

isto é, podem ser resolvidas “a mão”. Porém, em muitos casos, a complexidade

dos sistemas modelados implica em equações complicadas, impossíveis

de resolver analiticamente. Nesses casos, é necessário lançar mão de técnicas

computacionais (numéricas) para a solução do problema.

APLICAÇÕES E MODELOS CONHECIDOS ENVOLVENDO EQUAÇÕES

DIFERENCIAIS DE 2a ORDEM

Oscilador harmônico amortecido – Aplicação em Física e Engenharias

Todo objeto material é composto de átomos ou moléculas que, mesmo sob

condições normais de temperatura e pressão, estão em constante vibração.

Esta dinâmica vibracional constitui os chamados modos naturais ou normais

de vibração do material. Entender como funciona a dinâmica vibracional

interna dos materiais é muito relevante para a pesquisa fundamental em áreas

do conhecimento como a física, química, engenharia, ciências de materiais,

entre outras.

Um sistema vibracional simples cujo estudo pode ser feito através de equações

diferenciais é o oscilador harmônico amortecido. O movimento harmônico

amortecido ocorre quando uma força externa dissipativa atua sobre um

oscilador harmônico fazendo com que a velocidade de seu movimento reduzase

gradualmente. Um exemplo típico de força externa dissipativa é a força

de resistência do ar. Um sistema oscilando no ar acaba por ter reduzida sua energia cinética e, portanto, sua amplitude de oscilação devido à força de

resistência que o ar exerce sobre o sistema.

A partir da segunda lei de Newton é possível escrever a equação de movimento

do oscilador harmônico amortecido da seguinte forma: