Equacoes Diferenciais E Series

Carlos Henrique Ferreira– RA: 8881424468

ATPSI

Atividades Supervisionadas

Equações Diferenciais e Séries

3ºsem - Engenharia Produção.

Sumaré,02 de Abril de 2012

1 INTRODUÇÃO

Neste trabalho iremos apresentar a importância do estudo sistemático de circuitos eletroeletrônicos que atualmente é motivado para o desenvolvimento de novos dispositivos, como tablets, que trazem como uma das propostas permitir que o usuário tenha boa parte dos recursos de um computador em um aparelho portátil e mais leve que um notebook. O estudo de circuitos elétricos permite, também, o avanço dos dispositivos já existentes, como por exemplo, telefones celulares, cuja atual funcionalidade vai bem mais além da comunicação entre dois usuários por uma ligação telefônica.

O desenvolvimento de outros setores também está diretamente relacionado com o avanço de dispositivos, mediante o estudo de circuitos elétricos e eletrônicos, a exemplo dos setores de transmissão de energia, telecomunicações e saúde.

O conteúdodesse trabalho evidência a importância de se ter uma base sólida nas técnicas de modelagem e tratamento matemático de circuitos elétricos, que se dá por meio de equações diferenciais, nas quais é frequente o uso de séries no tratamento matemático.

O objetivo deste trabalho é permitir ao grupo um sólido conhecimento sobre a modelagem de circuitos elétricos por meio de equações diferenciais, e sobre os métodos de solução dessas equações, possibilitando, inclusive, a análise de projetos de desenvolvimento de dispositivos.

2 ETAPA I

2.1 AULA-TEMA: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS. APLICAÇÕES E MODELAGEM

Equações diferenciais são ferramentas matemáticas usadas para calcular a evolução de sistemas. O objetivo da modelagem é encontrar a taxa de variação com o tempo das grandezas que caracterizam o problema, ou seja, a dinâmica temporal do sistema de interesse. Resolvendo a equação diferencial (ou sistema de equações diferenciais) que caracteriza determinado processo ou sistema, pode-se extrair informações relevantes sobre os mesmos e, possivelmente, prever o seu comportamento.

As equações diferenciais ordinárias (EDOs) modelam vários fenômenos físicos do nosso cotidiano, tanto no campo da engenharia como das ciências físicas e sociais, o que justifica o estudo destes tipos de equações.As aplicações de equações diferencias ordinárias na análise de circuitos elétricos é o nosso objetivo.

2.2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS E APLICAÇÕES

Fenômenos físicos frequentemente envolvem relações entre uma variável independente x e uma variável dependente y, tais relações não são fáceis ou mesmo possíveis de serem descritas com uma função de variável independente.

Às vezes podemos estabelecer a relação entre y e x através de seus valores e derivadas da função desconhecida .

Em circuitos elétricos, por exemplo, desejamos encontrar a tensão como uma função do tempo, v(t), que pode ser escrita como uma relação das derivadas de v no tempo e das propriedades do circuito.

Uma função expressa como uma função da variável independente x, da variável independente y e suas derivadas é dita equação diferencial.

Uma relação que envolve derivadas ate ordem n é dita Equação Diferencial Ordinária (EDO), podendo ser colocada na forma matemática:

As equações diferenciais ordinárias podem ser classificadas pela ordem e pela linearidade. A ordem de equação diferencial ordinária é a ordem da mais alta derivada

presente na equação.

2.3 MODELAGENS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM CIRCUITOS ELÉTRICOS

Objetivando ilustrar a modelagem de equações diferenciais desenvolveremos à seguir modelos de sistemas dinâmicos e demonstraremos exemplos práticos.

2.3.1 CIRCUITO RC

Figura 7.3

A figura 7.3 mostra um circuito RC série, que recebe esta denominação porque o resistor e o capacitor estão em série com a fem.

Vamos usar o princípio da conservação da energia para determinar a equação diferencial que descreve o comportamento deste circuito. Inicialmente, quando a chave S é conectada ao ponto ‘a’, o capacitor está descarregado. A partir deste momento ele começa a ser carregado pela bateria.

Para cada carga dq fornecida pela bateria, esta realiza um trabalho

dW=edq

Este trabalho transforma-se em energia dissipada no resistor,

Ri2dt

e em energia acumulada no capacitor,

onde V é a diferença de potencial entre as placas do capacitor.

Pela conservação de energia,