Equaçoes Diferenciais E Series

ASPECTOS HISTÓRICOS DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Sem saber alguma coisa sobre equações diferenciais e métodos para resolvê-las é difícil apreciar a sua história. Além disso, o desenvolvimento deste ramo da Matemática está intimamente ligado ao desenvolvimento da própria Matemática.

As equações diferenciais começaram com o estudo do Cálculo por Isaac Newton e Gottfried W. Leibniz no século . Newton atuou relativamente pouco na área de equações diferenciais, mas o seu desenvolvimento do Cálculo e a elucidação dos princípios básicos da mecânica forneceram a base para a aplicação das equações diferenciais no século especialmente por Euler. Newton desenvolveu um método para resolver a equação de primeira ordem

no caso em que é um polinômio em e usando séries infinitas.Leibniz foi um autodidata em Matemática, já que seu interesse no assunto desenvolveu-se quando tinha vinte e poucos anos. Leibniz compreendia o poder de uma boa notação matemática e a nossa notação para derivada , assim como o sinal de integral, são devidos a ele. Descobriu o método de separação de variáveis para as equações

em , a redução de equações homogêneas a equações separáveis e o procedimento para resolver equações lineares de primeira ordemComo embaixador e conselheiro de diversas famílias, Leibniz viajou muito por toda a Europa e manteve uma extensa correspondência com os irmãos Bernoulli. No decorrer dessas correspondência foram resolvidos muitos problemas em equações diferenciais durante a parte final do século .

Os irmãos Jakob e Johann Bernoulli contribuíram muito para o desenvolvimento das equações diferenciais e suas aplicações. Ambos eram briguentos, ciumentos e estavam frequentemente envolvidos em disputas matemáticas. Apesar disso, ambos fizeram contribuições significativas em diversas áreas da Matemática. Por exemplo, Jakob Bernoulli resolveu a equação diferencial

e usou pela primeira vez a palavra "integral" no sentido moderno e seu irmão resolveu de forma brilhante o problema da catenária que é a forma que os cabos suspensos adquirem sob seu próprio peso. A catenária satisfaz a equação diferencial

O problema de determinar a forma de uma curva ligando dois pontos distintos sobre um plano vertical, conhecido por problema da braquistócrona, foi resolvido pelos irmãos Bernoulli e também por Leibniz e Newton. Diz-se que Newton soube do problema no final da tarde de um dia cansativo na Cada da Moeda e que o resolveu naquela noite após o jantar.

Omaior matemático do século , Leonhard Euler identificou a condição para que equações de primeira ordem sejam exatas. Em um artigo publicado em desenvolveu a teoria dos fatores integrantes e encontrou a solução geral para equações de coeficientes constantes tal como

Em , Euler usou séries de potências para resolver equações diferenciais. Propôs também um procedimento numérico para resolver equações do tipo

Além disso, ele deu contribuições importantes em equações diferencias parciais, descobrindo a equação

que atualmente é conhecido por laplaciano, muitos anos antes de Pierre Simon de Laplace e apresentou o primeiro tratamento sistemático ao Cálculo das Variações.

Outro personagem desta história e Joseph Louis Lagrange que entre os anos de e , mostrou que a solução geral de uma equação diferencial linear homogênea de grau é uma combinação linear de soluções independentes. Mais tarde, em , desenvolveu o seu método da variação dos parâmetros. Lagrange também é conhecido pelo seu trabalho fundamental em Equações Diferenciais Parciais e Cálculo das Variações.

No final do século muitos métodos elementares para resolver equações diferencias ordinárias já tinham sido descobertos. No