Equação Dferencial Ordinária

ANHANGUERA

CURSO DE ENGENHRIA CIVIL

CIÊNCIAS EXATAS E ENGENHARIA

ATPS DE EQUAÇÕES DIFERÊNCIAS ORDINÁRIAS

RAMINE VALERIOTE DE SOUZA MATTOS RA: 6238203493

PROFESSORA: DANIELE GOMES

Niterói 2014

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO 3

MODELAGEM 4

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 7

Equação diferencial ordinária (EDO) 7

Ordem e grau de uma EDO 7

EDO linear de ordem n 8

Solução de uma EDO 8

EDO de primeira ordem 8

EDO separáveis 9

EDO homogenias 9

EDO exata 10

EDO lineares 10

EDO não lineares redutíveis a lineares 12

MODELAGEM DE CIRCUITO ELÉTRICO 13

Circuitos RC sem Fontes 13

Potência instantânea absorvida pelo resistor R: 14

Constante de Tempo 15

Propriedade das funções exponenciais: 16

BIBLIOGRAFIA 17

INTRODUÇÃO

Trata-se de um estudo concentrado em modelagens de sistemas através equações diferenciais e uma breve amostra de circuitos elétricos também envolvendo equações deferências.

Sua finalidade é mostrar que podemos encontrar equações para resolução de problemas físicos e abstratos, como a queda de um objeto ou até mesmo um crescimento populacional, entre outros.

A modelagem de circuitos elétricos visa medir a capacidade do capacitor bem como a potência adquirida pelo resistor através da equação diferencial.

MODELAGEM

Os modelos podem ser físicos ou matemáticos.

Os físicos são os protótipos e plantas-piloto e os matemáticos são as representações abstratas da realidade através de equações.

O que é um modelo matemático?

"É uma representação dos aspectos essenciais de um sistema, que apresenta conhecimento desse sistema em uma forma utilizável." (Eykhoff, 1974)

"É um sistema de equações, cuja solução dado um conjunto de dados de entrada, é representativa da resposta do processo." (Denn, 1986)

"Um modelo nada mais é do que uma abstração matemática ele um processo real." (Seborg et al, 2004)

A modelagem matemática de um sistema dinâmico é definida como um conjunto de equações que representam a dinâmica do sistema com precisão ou, pelo menos, de forma bastante aceitável.

A dinâmica de muitos sistemas sejam eles mecânicos, elétricos, térmicos, econômicos, biológicos etc., podem ser descrita em termos de equações diferenciais. Tais equações diferenciais podem ser obtidas utilizando-se as leis físicas que governam um sistema particular, como por exemplo, as leis de Newton dos sistemas mecânicos e as leis de Kirchhoff dos sistemas elétricos.

Para se usar equações diferenciais nos diversos campos em que são úteis é preciso, primeiro, formular a equação diferencial apropriada que descreve, ou modela o problema em questão. Ao construir modelos matemáticos futuros, você deve reconhecer que cada problema é diferente e que a arte de modelar não é uma habilidade que pode ser reduzida a uma lista de regras, a construção de um modelo satisfatório é, algumas vezes, a parte mais difícil de um problema. Podemos desenvolver uma equação diferencial se conseguirmos identificar alguns passos que fazem, freqüentemente, parte do processo.

Como:

Identificar as variáveis independentes e dependentes e atribuir a elas letras para representá-las.

Escolha a unidade de medida de cada variável, como por exemplo, para um objeto em queda o tempo em segundos e em meses para um problema populacional.

Use principio básico implícito ou a lei que rege o problema em investigação. Isso pode ser uma lei amplamente conhecida, como a lei do movimento de Newton, ou pode ser uma hipótese baseada na sua própria experiência ou observação.

Expresse o principio ou lei do passo 3 em função das variáveis do passo 1. Isso pode não ser muito fácil, pois pode precisar incluir variáveis auxiliares, ou intermediárias, que tem que está relacionada com as variáveis primárias.

Certifique-se que cada parcela em sua equação está nas mesmas medias física.

Aqui podemos verificar dois exemplos, um que podem ser usados um para a engenharia com a fórmula dos sistemas mecânicos de Newton e outra para controle de crescimento populacional.

Exemplo:

Um objeto em queda.

Suponha que um objeto está caindo na atmosfera, perto do nível do mar. Formule uma equação diferencial que descreva o movimento.

Seguindo os passos anteriores:

O movimento corre durante um intervalo de tempo t, além disso, vamos usar v para a velocidade do objeto em queda. Como a velocidade varia com o tempo, podemos considerar v como uma função de t; em outras palavras t é variável independente e v é a variável dependente. Vamos então medir o tempo em segundos (s) e a velocidade em metros por segundos (m/s). Além disso, vamos supor que a velocidade de v seja positiva mesmo que seu sentido esteja para baixo.

A lei da física