Equações Diferenciais - Aplicação Em Engenharia Civil

1. INTRODUÇÃO

Este trabalho visa apresentar a interligação entre as equações diferencias e a engenharia civil. Por base nisto, será exposto uma aplicação envolvendo vigas, onde irá abranger de fato a sua inclinação tão quanto à sua flexão, dando-se referência ao estudo das estruturas para que as deformações de vigas sejam limitadas, pois tais elementos são de fundamental importância para a engenharia e a sociedade como um todo.

2. EQUAÇÃO DIFERENCIAL APLICADA À ENGENHARIA CIVIL

As vigas são elementos estruturais essenciais para as edificações. São compostas de madeira, ferro ou concreto. São utilizadas também para transferir o peso das lajes e de paredes, portas às colunas. A engenharia civil se dedica ao estudo das tensões recebidas pela estrutura, e existem problemas que envolvem equações diferenciais. O exemplo abaixo mostra um problema que envolve a flexão nas vigas, sejam elas engastadas, como mostra a figura 1 ou bi-apoiadas, como mostra a figura 2.

Elementos de máquinas devem ser suficientemente rígidos para que se evitem desalinhamentos e para manter a precisão dimensional sob a ação de cargas. Em prédios, as vigas dos pavimentos não podem defletir excessivamente para evitar efeitos psicológicos indesejáveis sobre os ocupantes e para minimizar ou evitar situações de preocupação com os materiais frágeis de acabamento. Da mesma forma a informação sobre características de deformação de membros é essencial ao estudo de vibrações de maquinas, assim como em estruturas estacionárias e de avião.

Essas vigas, sob a ação de cargas aplicadas (inclusive seu próprio peso) e das reações dos apoios, sofrem uma deformação, flexionando-se. O eixo de simetria da viga é uma linha imaginária que passa pelos centros de gravidade das seções transversais da viga e que se curva quando a mesma é submetida a uma carga.

Admitiremos a viga como sendo formada por fibras longitudinais. Na flexão, as fibras da metade superior da viga da figura 3 são comprimidas e as da metade inferior são tracionadas, as duas partes sendo separadas por uma superfície neutra cujas fibras não sofrem tração nem compressão.

A fibra que inicialmente coincidia com o eixo da viga, encontra-se agora, na superfície neutra ao longo de uma curva.

A curva que se forma é denominada curva elástica (linha AB da figura 1). Determinemos a equação desta curva.

Consideremos uma sessão transversal da viga a uma distância x de uma extremidade. Seja RS sua interseção com a superfície neutra e P o traço da curva elástica nessa seção. A mecânica demonstra que o momento M, em relação à RS, de todas as forças que agem em qualquer das partes em que a viga foi dividida pela seção feita é:

i. Independente da parte considerada

ii. Dado por:

No qual,

R = raio de curvatura da curva elástica, no ponto P,

E = módulo de elasticidade (módulo de Young) do material da viga,

I = momento de inércia da seção transversal, em relação a AB,

M = momento fletor das forças em relação à seção transversal de abcissa x.

O produto E . I é chamado de módulo de rigidez à flexão da viga (é constante para uma mesma viga).

Suponhamos que a viga seja substituída pela sua curva elástica e a seção transversal pelo ponto P. Tomemos a origem na extremidade esquerda da viga, o eixo dos x na horizontal e o ponto P com as coordenadas (x, y).

Em textos sobre Geometria Diferencial mostra-se que, em coordenadas cartesianas, o raio de curvatura de uma linha é definida por:

Sendo a inclinação da curva elástica, em qualquer ponto, uma quantidade bastante pequena, podemos reescrever R como:

A equação reduz-se a:

ou, seja:

Para calcular a deflexão máxima em uma viga engastada, com a outra extremidade submetida a uma carga Q.

:

O momento fletor M é dado por:

Levando-se M à equação da flexão das vigas, temos:

A constante C1 é nula já que a tangente à curva elástica é o próprio eixo x, quando x = 0, o que implica .

Dessa maneira, fazendo-se uma nova integração:

Observe que para x = 0, não há deformação. Daí tem–se y