Equações Diferenciais E Series

Modelagem com Equações Diferenciais

1 INTRODUÇÃO

Equações diferenciais são ferramentas matemáticas usadas para calcular a evolução de sistemas. O objetivo da modelagem é encontrar a taxa de variação com o tempo das grandezas que caracterizam o problema, ou seja, a dinâmica temporal do sistema de interesse. Resolvendo a equação diferencial (ou sistema de equações diferenciais) que caracteriza determinado processo ou sistema, pode-se extrair informações relevantes sobre os mesmos e, possivelmente, prever o seu comportamento.

Deve-se ter em mente que a modelagem de um sistema em um conjunto de equações diferenciais fornece, quase sempre, uma descrição aproximada e simplificada do processo real. Ainda assim, a modelagem através de equações diferenciais fornece uma ferramenta poderosa para acessarmos o comportamento geral de vários tipos de sistemas.

Historicamente, a evolução do ramo da matemática no qual se insere o estudo das equações diferenciais aconteceu em paralelo com o desenvolvimento da Física, funcionando como ferramenta de cálculo das equações de movimento da mecânica newtoniana, das equações de onda da física ondulatória e do eletromagnetismo e, mais tarde, na formulação da mecânica quântica e da relatividade.

Hoje em dia, o uso de equações diferenciais foi estendido para as mais diversas áreas do conhecimento. Para citar alguns exemplos de aplicações de equações diferenciais em Ciências Naturais, Circuitos Elétricos, a datação por carbono radioativo, a exploração de recursos renováveis, as equações diferenciais também encontram aplicação em economia, no sistema financeiro, no comércio, no comportamento de populações humanas, dentre outras.

Uma das principais razões da importância das equações diferenciais é que mesmo as equações mais simples são capazes de representar sistemas úteis.

Por outro lado, problemas cuja modelagem exige equações diferenciais mais complicadas podem, hoje em dia, ser tratados através de métodos computacionais.

Assim, o estudo e o desenvolvimento da área de modelagem de sistemas através de equações diferenciais são de suma importância para a compreensão de problemas reais, apresentando aplicações nas mais diversas áreas do conhecimento e, em particular, em Circuitos Elétricos.

2 Classificação e Definição geral dàs equações diferenciais

2.1 Definição

Uma equação diferencial é uma lei, ou uma prescrição, que relaciona determinada função com suas derivadas. Em outras palavras, uma equação diferencial estabelece a taxa segundo a qual as coisas acontecem. Resolver uma equação diferencial é encontrar a função que satisfaz a equação e, frequentemente, determinado conjunto de condições iniciais. A partir do conhecimento destas condições, a solução da equação diferencial fornece o valor da função em qualquer valor posterior da variável independente. Em

particular,na descrição de um sistema em termos de uma função da variável independente tempo, a resolução da equação diferencial correspondente permite prever o comportamento futuro do sistema.

2.2 .Classificação

Número de variáveis da função: As equações diferenciais podem ser classificadas quanto ao número de variáveis da função em termos da qual a equação é escrita. Equações diferenciais ordinárias (EDO) são aquelas cuja solução é uma função de apenas uma variável, ou seja, podem ser resolvidas apenas por derivadas simples.

3 Modelagem de um fenômeno

Suponhamos que a função y = f(x) expressa quantitativamente um fenômeno. Ao estudar este fenômeno é em geral impossível estabelecer diretamente a dependência entre y e x. Entretanto, em muitos casos é possível determinar uma relação entre as magnitudes x, y, e as derivadas de y com relação a x, y′, y′′, . . ., y(n), ou seja, o fenômeno pode ser descrito através de uma equação diferencial.

A partir da dependência obtida entre x, y e as derivadas devemos determinar direta entre x e y, ou seja, determinar y = f(x) para os apropriados intervalos em x. Tal processo é denominado integração de uma equação diferencial. Antes de apresentarmos exemplos concretos é conveniente introduziralguns conceitos formais.

Uma equação diferencial (EDO) é uma equação que estabelece uma relação entre a variável independente x, a função buscada y = f(x) e suas derivadas y′, y′′,..., y (n). Aqui usamos a notação y′ := dy=dx, etc.

Um exemplo de equação diferencial ordinária é o seguinte:

y′′ + y′ + 2xy = 3 (1)

O termo ordinária refere-se ao fato de que a função desconhecida y = f(x) depende somente de uma variável..

De um modo geral, uma equação diferencial ordinária (EDO) de ordem n pode ser expressa na seguinte forma F ( x , y , y´ ,y´´ , . . . , y(n) ) = 0

A ordem da equação diferencial é dada pela ordem mais alta da derivada que aparece na equação. Por exemplo, a ordem da eq. (1) é 2.

.

 O grau de uma equação diferencial é o grau da potência da derivada mais alta. Por exemplo, é uma equação de terceira ordem e segundo grau

( y´´´ )² + x ( y´ )³ + y4 = 0 (4)

4 Solução de uma equação diferencial

Resolver, ou integrar, uma equação diferencial significa determinar a função ou funções que satisfazem a equação diferencial. Por exemplo, y1 = ex é uma solução da equação

y´´ - y = 0 ( 5 )

Em outras palavras, y1 = ex satisfaz identicamente a equação diferencial (5), como é evidente, se substituirmos y por y1 na equação. Similarmente,y2 = cosh x é outra solução de (5). Verifique tal fato.

Uma solução particular da EDO (5) é uma função y = f(x), definida no intervalo a < x < b, admitindo derivadas de ordem até n no intervalo, e satisfazendo