Equações diferenciais de ferramentas matemáticas

RESUMO

Este trabalho aborda as possibilidades de modelagem matemática de sistemas através de equações diferenciais, com ênfase aos sistemas pertencentes ao ramo das Ciências Naturais. Dependendo do problema de interesse, esta modelagem pode ser feita de forma analítica ou de forma computacional.

A seleção dos sistemas analisados neste trabalho foi feita, por um lado, através de um estudo da literatura padrão na área e por materiais fornecidos pela ATPS.

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO 05

2 ETAPA 1 .....................................................06

2.1 Passos .............................................. .............. 06

3 CONCLUSÃO .............................................................. .............. 13

REFERÊNCIAS ................................ ............. 14

1. INTRODUÇÃO

Equações diferenciais são ferramentas matemáticas usadas para calcular a evolução de sistemas. O objetivo da modelagem é encontrar a taxa de variação com o tempo das grandezas que caracterizam o problema, ou seja, a dinâmica temporal do sistema de interesse. Resolvendo a equação diferencial (ou sistema de equações diferenciais) que caracteriza determinado processo ou sistema, podem-se extrair informações relevantes sobre os mesmos e, possivelmente, prever o seu comportamento.

Deve-se ter em mente que a modelagem de um sistema em um conjunto de equações diferenciais fornece, quase sempre, uma descrição aproximada e simplificada do processo real. Ainda assim, a modelagem através de equações diferenciais fornece uma ferramenta poderosa para acessarmos o comportamento geral de vários tipos de sistemas.

O principal desafio que se apresenta na modelagem de sistemas em termos de equações diferenciais é formular as equações que descrevem o problema a partir de um conjunto restrito de informações, ou “pistas”, sobre o comportamento geral do sistema. A construção do modelo envolve uma percepção da situação real em linguagem matemática. Para que o modelo seja uma boa representação da realidade, é de fundamental importância enunciar de maneira precisa os princípios que governam o sistema de interesse. Ora, como cada sistema possui um conjunto de variáveis e interações características, os modelos propostos aparecem nas mais diversas formas, não havendo uma lista de regras gerais para a representação de determinado sistema ou processo. Apesar disso, segundo Boyce e DiPrima (2012) [2], existem alguns passos que, frequentemente, fazem parte do processo de modelagem: (i) Identificação das variáveis que caracterizam o sistema, (ii) Definição das unidades de medida das variáveis, (iii) Determinação das leis (teóricas ou empíricas) que regem as relações entre as variáveis e a dinâmica do sistema e (iv) Expressar as leis em termos das variáveis identificadas. Uma vez definido o conjunto de equações diferenciais que descrevem a dinâmica do sistema, é necessário resolver as equações, ou seja, encontrar suas soluções. Algumas equações diferenciais possuem soluções analíticas, isto é, podem ser resolvidas “a mão”. Porém, em muitos casos, a complexidade dos sistemas modelados implica em equações complicadas, impossíveis de resolver analiticamente. Nesses casos, é necessário lançar mão de técnicas computacionais (numéricas) para a solução do problema. Alguns dos softwares mais usados na solução computacional de equações diferenciais são, ferramentas que executam algoritmos de aproximação numérica. Estes softwares também são úteis na interpretação e representação gráfica das soluções obtidas, possibilitando um entendimento da solução bem mais claro do que o extraído de tabelas numéricas ou fórmulas analíticas complicadas. Abordagens computacionais podem ser implementadas.

2. ETAPA 1

Equações Diferenciais. Aplicações e Modelagem.

Esta atividade é importante para você compreender a caracterização de uma equação diferencial e a sua aplicação em problemas de engenharia.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

2.1 PASSOS

PASSO 1

Pesquisar e estudar sobre a modelagem de sistemas por meio de equações diferenciais em

sistemas físicos e problemas de engenharia.

Sites sugeridos para pesquisa

• Equações Diferenciais Ordinárias e Aplicações. Disponível em:

<https://docs.google.com/file/d/0B9a4HNta2XG3TXE2c2xhNXJvVk0/edit?usp=sharing>. Acesso em: 29 maio 2013.

• Aplicação das Equações Diferenciais. Disponível em:

<https://docs.google.com/file/d/0B9a4HNta2XG3Y3RWTGdERUwyYVE/edit?usp=sharing>. Acesso em: 29 maio 2013.

PASSO 2

Revisar os conteúdos sobre diferencial de uma função e sobre as técnicas de integração de funções de uma variável. Utilizar como bibliografia o Livro-Texto da disciplina (identificado ao final da ATPS).

PASSO 3

Estudar o método de resolução de equações diferenciais lineares de variáveis separáveis e de

primeira ordem. Utilizar como bibliografia o Livro-Texto da disciplina (identificado ao final

da ATPS).

PASSO 4

Pesquisar, em livros, artigos e sites, sobre a modelagem de circuitos elétricos por meio de equações diferenciais.

Sites sugeridos para pesquisa

• Modelagem Matemática Baseada nas Leis de Kirchoff. Disponível