Escalares
Seminário: Escalares. Pesquise 862.000+ trabalhos acadêmicosPor: chs3 • 15/9/2013 • Seminário • 848 Palavras (4 Páginas) • 293 Visualizações
Ent˜ao v se exprime de maneira ´unica como combina¸c˜ao linear dos elementos de B1, isto ´e, existem
escalares v1, v2 (elementos de K) tais que:
v = v1 e1 + v2 e2 , (1.1)
(onde os escalares v1, v2 s˜ao as coordenadas de v na base B1).
Seja B0
1 = {e
0
1
, e0
2}, como mostrado na Figura 1.1, uma outra base de E. Analogamente, podemos
escrever:
v = v
0
1
e
0
1 + v
0
2
e
0
2
. (1.2)
Desejamos saber como, dadas as coordenadas de v na base B1 (aqui denominada base antiga),
poderemos determinar as coordenadas de v na base B0
1
(aqui denominada base nova). Sendo e
0
1
, e0
2
elementos de E podemos, em particular, escrever cada um deles como combina¸c˜ao linear dos elementos
da base B1. Assim:
e
0
1 = a11 e1 + a21 e2 ,
e
0
2 = a12 e1 + a22 e2 .
(1.3)
isto ´e, cada vetor da base nova se exprime de maneira ´unica como combina¸c˜ao linear dos vetores da base
antiga.
Assim, em virtude de (1.1), (1.2) e (1.3) temos:
v = v1 e1 + v2 e2 = v
0
1
e
0
1 + v
0
2
e
0
2
= v
0
1
(a11 e1 + a21 e2) + v
0
2
(a12 e1 + a22 e2)
= (v
0
1 a11 + v
0
2 a12) e1 + (v
0
1 a21 + v
0
2 a22) e2 .
Como as coordenadas de um vetor em rela¸c˜ao a uma determinada base s˜ao ´unicas, podemos igualar
os coeficientes. Assim, obtemos o sistema linear:
v1 = v
0
1 a11 + v
0
2 a12
v2 = v
0
1 a21 + v
0
2 a22CAP´ITULO 1. CONCEITOS BASICOS ´ 4
ou na forma matricial:
v1
v2
=
a11 a12
a21 a22 v
0
1
v
0
2
, (1.4)
ou ainda:
v = A v0
. (1.5)
O sistema (1.4), possui sempre uma e uma s´o solu¸c˜ao v
0
1
, v0
2
, pelo fato de B1 e B0
1
serem bases de E.
Ent˜ao, conhecidas, na base antiga, as coordenadas v1, v2 de v e as coordenadas de cada um dos vetores
e
0
1
, e0
2
, na base antiga, podemos determinar as coordenadas v
0
1
, v0
2 de v na base nova usando (1.4).
Sendo A n˜ao singular, (det(A) 6= 0), existe a inversa A−1 de A. Assim, pr´e-multiplicando (1.5) por
A−1
, obtemos:
v
0 = A
−1
v . (1.6)
A equa¸c˜ao matricial (1.6) mostra como calcular as coordenadas de v na base antiga quando conhecidas
as coordenadas de v na base nova.
Exemplo 1.1 - Seja v = (2,4)t na base {(1,2)t
,(2,3)t}. Calcular as coordenadas de v na base {(1,3)t
...