Explique Limites

LIMITES NA VIDA PRÁTICA

Vejamos uma situação onde está presentes a idéia intuitiva de limite:

Vitória trabalha em uma sapataria e recebe mensalmente um salário de R$415,00 mais uma comissão de 5% sobre suas vendas no mês. Se S(x) representa o salário de Adeilza em função do número x de vendas no mês corrente, então

S(x)= 415+0,05x

Assim, se no mês de dezembro de 2010 o faturamento de Adeilza para a loja tende a se estabilizar em R$ 3000,00 (três mil reais), então o salário de Adeilza tende a se estabilizar em R$ 565,00. Podemos representar tal situação por:

(lim)┬(x→3000)⁡〖415+0,05x=〗 565

Quando trabalhamos com funções nós apenas a avaliamos para pontos que pertenciam ao seu domínio. Mas o que acontecem com os pontos que não pertencem ao domínio? Devemos desprezá-los? Será que existe alguma forma de avaliar a função nesse ponto, ou pelo menos próximo dele? A título de ilustração consideremos a seguinte função,

f(x)=(x^2-1)/(x-1)

Com x=1. Note que 1 não está contido no domínio de f, pois fazendo x=1 obtemos a expressão indeterminada 0/0. Observe então a seguinte tabela,

f(x)=(x^2-1)/(x-1)=((x-1)(x+1))/((x-1))=x+1

Pela esquerda de x=1

Pela direita de x=1

x f(x) X f(x)

0 1 2 3

0,5 1,5 1,5 2,5

0,8 1,8 1,2 2,2

0,9 1,9 1,1 2,1

0,99 1,99 1,01 2,01

0,999 1,999 1,001 2,001

1 2 1 2

Ao analisar o comportamento desta função nas vizinhanças do ponto x=1 ponto este que não pertence ao domínio de f, constatamos que esta função se aproxima rapidamente do valor L=2, quando os valores de x se aproximam de x=1, tanto por valores de x<1 (à esquerda de 1) como por valores x>1 (à direita de 1).

DEFINIÇÃO INFORMAL DE LIMITE

Seja f(x) definida em um intervalo aberto em torno de x0 exceto talvez em x0. Se f(x) fica arbitrariamente próximo de L, para todos os valores de x suficientemente próximos de x0, dizemos que f tem limite quando x tende a x0 e escrevemos

lim┬(X→x_0 )⁡〖f(X)〗=L

lim┬(x→7)⁡〖(2x+5)〗=2 .7+5=14+5=19

Exemplos (sala de aula)

DEFINIÇÃO FORMAL DE LIMITE

Seja f(x) definida num determinado intervalo aberto I, contendo a, exceto possivelmente, no próprio a. dizemos que o limeite de f(x) quando x aproxima-se de a é L e escrevemos

lim┬(X→x_0 )⁡〖f(X)〗=L

Se, para todo ε > 0, existe um δ > 0, tal que

|f (x) – L| < ε sempre que 0 < |x – a| < δ.

Exemplo 1. Use a definição de limite para provar que lim┬(x→4)⁡〖(3x-5)〗=7

Exemplo 2. Use a definição de limite para provar que lim┬(x→3)⁡〖(4x+7)〗=5

LIMITES LATERAIS

lim┬(X→a-)⁡〖f(X)〗:limite de f(x)quando x tende para a pela esquerda ( com valores menores que a)

lim┬(X→a+)⁡〖f(X)〗: limite de f(x)quando x tende para a pela direita ( com valores maiores que a)

A condição de existência para que uma função tenha limite é que o valor dos limites laterais de f sejam iguais.

TEOREMA. Se f é uma função definida em um intervalo aberto contendo x0 exceto possivelmente no ponto x0, então lim┬(x→xo)⁡〖f(x)=L〗 se, e somente se,

lim┬(x→x_0+)⁡〖f(x)= (lim⁡f(x))┬(x→x_0-) 〗

No caso que um dos limites laterais não existe ou de ambos existirem, porém com valores diferentes, diremos que a função não tem limite no ponto em questão.

PROPRIEDADES DOS LIMITES

Unicidade do Limite: o limite de uma função, quando existe, é único, isto é:

Se lim┬(x→x_0 )⁡〖f(x)= L〗 e lim┬(x→x_0 )⁡〖f(x)= M〗, então L = M

Regra da Soma: lim┬(x→x_0 )⁡〖[f(x)+ g(x)]= 〗 lim┬(x→x_0 )⁡〖f(x)+ 〗 lim┬(x→x_0 )⁡〖g(x) 〗

Regra da Diferença: lim┬(x→x_0 )⁡〖[f(x)- g(x)]= 〗 lim┬(x→x_0 )⁡〖f(x)- 〗 lim┬(x→x_0 )⁡〖g(x) 〗

Regra do Produto: lim┬(x→x_0 )⁡〖[f(x) . g(x)]= 〗 lim┬(x→x_0 )⁡〖f(x) .〗 〖 lim┬(x→x_0 )〗⁡〖g(x) 〗

Regra da Multiplicação por Constante: lim┬(x→x_0 )⁡〖[kf(x)]= k〗 lim┬(x→x_0 )⁡f(x)

Em particular, se f(x) = k onde k  R; então lim┬(x→x_0 )⁡〖f(x)= 〗 lim┬(x→x_0 )⁡〖k=k 〗

Regra do Quociente: lim┬(x→x_0 )⁡〖f(x)/(g(x))= lim┬(x→x_0 )⁡〖f(x) 〗/lim┬(x→x_0 )⁡〖g(x) 〗 〗 , desde que o limite do denominador seja diferente de zero.

Regra da Potenciação: lim┬(x→x_0 )⁡〖〖f(x)〗^n= ⌊lim┬(x→x_0 )⁡f(x) ⌋^n 〗

lim┬(x→x_0 )⁡〖√(n&f(x) )= √(n&lim┬(x→x_0 )⁡〖f(x) 〗 )〗

TEOREMA DO SANDUICHE

Se valem as desigualdades f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x em um intervalo aberto contendo x0, exceto talvez em x=x0 e se lim┬(x→x_0 )⁡〖f(x)= L〗=lim┬(x→x_0 )⁡〖h(x)〗, então

lim┬(x→x_0 )⁡〖g(x)= L〗

INDETERMINAÇÕES

Costuma-se dizer que as expressões abaixo são indeterminadas

As seguintes identidades são muito úteis para remover a indeterminação ( 0)/0 :

a2 – b2 = (a – b)(a + b)

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab +