Fisica Cálculo

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Cálculo II Engenharia Prof. Júlio Corgozinho

Cálculo II

Agora você começa o segundo maior tópico em cálculo – a INTEGRAÇÃO. Assim como duas ideias simples estão no coração da diferenciação – razão (como quilômetros por hora) e o declive ou inclinação de uma curva – a integração também pode ser entendida em termos de duas ideias simples – somando pequenos pedaços de alguma coisa e a área embaixo de uma curva.

O primeiro progresso real no trato com o problema geral da área foi obtido pelo matemático grego Arquimedes, que obteve áreas de regiões delimitadas por arcos de círculos, parábolas, espirais e vários outros tipos de curvas, usando um procedimento genial mais tarde denominado método de exaustão. Esse método, quando aplicado ao círculo, consiste na inscrição de uma sucessão de polígonos regulares no círculo, permitindo que o número de lados dos polígonos cresça indefinidamente. À medida que cresce o número de lados, os polígonos tendem a “exaurir” a região do círculo e suas áreas se aproximam cada vez mais da área exata do círculo. Para ver como funciona numericamente observe as figuras abaixo.

O PROBLEMA DA ÁREA – Dada uma função f contínua e não-negativa em um intervalo [a, b], encontre a área da região entre o gráfico de f e o intervalo [a, b] no eixo x (figura abaixo).

O MÉTODO DOS RETÂNGULOS PARA ENCONTRAR ÁREAS.

Uma abordagem ao problema da área é a utilização do método de exaustão de Arquimedes da seguinte maneira:

 Dividir o intervalo [a, b] em n subintervalos iguais e em cada um deles construir um retângulo que se estende desde o eixo x até algum ponto na curva y = f(x) acima do subintervalo; o ponto particular não interessa, podendo ser o que estiver acima do centro, acima dos extremos ou acima de qualquer outro ponto no subintervalo.

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 Para cada n, a área total dos retângulos pode ser vista como uma aproximação à área exata sob a curva acima do intervalo [a, b]. Além disso, fica intuitivamente evidente que, quando n cresce, essas aproximações irão se tornar cada vez melhores e tender à área exata como um limite ( figura abaixo). Assim, se A denota a área exata sob a curva e An denota a aproximação de A usando n retângulos, então:

Diremos que esse é o método dos retângulos para o cálculo de A.

Antidiferenciação.

Você já está familiarizado com operações inversas. Adição e subtração, multiplicação e divisão, potenciação e radiciação são operações inversas. A operação inversa da diferenciação é chamada antidiferenciação.

Nesta seção vamos desenvolver algumas técnicas para o cálculo de antiderivadas.

Definição de antiderivada de uma função:

Uma função F é chamada antiderivada de uma função f em um intervalo I se F´(x) = f(x) para todo valor de x em I.

Se F(x) é uma antiderivada de f(x), entra F(x) + C, onde C é uma constante arbitrária, também é uma antiderivada de f(x). Assim, por exemplo:

( ) ( ) ( ) são antiderivadas de 3x2 porque a derivada dessas três funções é 3x2. Na verdade, todas as antiderivadas de 3x2 são da forma x3 + C. Assim, o processo de antiderivação não determina uma única função, e sim uma família de funções cuja diferença é uma constante.

A expressão “F(x) é uma antiderivada de f(x)” é usada como sinônimo de “f é uma derivada de F”.

Notação de antiderivadas e Integrais Indefinidas.

O processo de antiderivação também é chamado de integração, e é representado pelo símbolo  (letra s alongada, como costumava ser grafada antigamente), que recebe o nome de sinal de integral. O símbolo ∫ ( ) indica que a integral é uma soma de áreas de retângulos infinitesimais, ou seja, infinitamente pequenos. ∫ ( ) ( )

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Onde f(x) é o integrando e C é a constante de integração. A diferencial dx na integral indefinida identifica a variável de integração.

Intuitivamente, imaginamos a área total como a soma das áreas de uma infinidade de retângulos de base infinitamente pequena dx e altura correspondente f(x). (Veja figura abaixo)

Propriedades e Fórmulas de integração.

Integração é essencialmente um trabalho de dar palpites. Muitas fórmulas básicas de integração podem ser obtidas diretamente de suas fórmulas de diferenciação correspondentes. Algumas das mais importantes estão logo a seguir:

∫

∫ ( ) ∫ ( )

∫[ ( ) ( )] ∫ ( ) ∫ ( )

∫[ ( ) ( )] ∫ ( ) ∫ ( )

∫

∫

∫ | |

∫

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Observe que a Regra da Potência inclui a restrição de que n não pode ser igual -1. Assim, não podemos usar a regra da potência para calcular a integral ∫ Para calcular esta integral (regra 7), usamos a Regra do Logaritmo.

Vejamos alguns exemplos: ) ∫ ) ∫ ) ∫ ∫ ( ) ) ∫ ∫ ) ∫√