Funçao Esponencial
Dissertações: Funçao Esponencial. Pesquise 862.000+ trabalhos acadêmicosPor: serragem • 31/3/2014 • 1.020 Palavras (5 Páginas) • 450 Visualizações
Propriedades da Função Exponencial
Sendo a > 0 e a ≠ 1, tem-se que ax=at↔ x = t;
A função exponencial ƒ(x)=ax é crescente em todo seu domínio se, e somente se, a>1;
A função exponencial ƒ(x)=ax é decrescente em todo seu domínio se, e somente se, 0<a<1;
Toda função exponencial, isto é, ƒ(x)=ax com a ∈ R+* e a ≠ 1 é bijetora;
A função exponencial é uma das mais importantes funções da matemática. Descrita como ex (onde e é a constante matemática neperiana, base do logarítmo neperiano), pode ser definida de duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita; a segunda, como limite de uma seqüência:
A função exponencial é achatada para x negativos, e cresce rapidamente para x positivos.
A curva ex jamais toca o eixo x, embora apresente tendência a se aproximar deste. Note que sua assíntota é y=0.
e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots
e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n
Aqui, n! corresponde ao fatorial de n e x é qualquer número real ou complexo.
O valor de e^1 é aproximadamente 2{.}718281828
Se x é real, então ex é sempre positivo e crescente. Conseqüentemente, sua função inversa, o logarítmo neperiano, ln(x), é definida para qualquer valor positivo de x. Usando o logarítmo neperiano, pode-se definir funções exponenciais mais genéricas, como abaixo:
a^x = e^{x \ln a}
Para todo a > 0 e x \in \mathbb{R}.
A função exponencial também gera funções trigonométricas (como pode ser visto na equação de Euler para análises complexas), e as funções hiperbólicas. Então, tem-se que qualquer função elementar, exceto as polinomiais são criadas a partir da função exponencial.
As funções exponenciais "transitam entre a adição e a multiplicação" como é expressado nas seguintes leis exponenciais:
a^0 = 1
a^1 = a
a^{x + y} = a^x a^y
a^{x y} = \left( a^x \right)^y
{1 \over a^x} = \left({1 \over a}\right)^x = a^{-x}
a^x b^x = (a b)^x
Estas são válidas para todos os números positivos reais a e b e todos os números reais x. Expressões envolvendo frações e raízes podem freqüentemente serem simplificadas usando-se a notação exponencial porque:
{1 \over a} = a^{-1}
\sqrt[c]{a}^b = a^{b \over c}
Função exponencial e equações diferenciais
A maior importância das funções exponenciais nos campos das ciências é o fato de que essas funções são múltiplas de suas próprias derivadas:
{d \over dx} a^x = (\ln a) a^x
Se a taxa de crescimento ou de decaimento de uma variável é proporcional ao seu tamanho, como é o caso de um crescimento populacional ilimitado, juros continuamente computados ou decaimento radiativo, então a variável pode ser escrita como uma função exponencial do tempo.
A função exponencial então resolve a equação diferencial básica
{dy \over dx} = y
e é por essa razão comumente encontrada em equações diferenciais. Em particular a solução de equações diferenciais ordinárias pode freqüentemente ser escrita em termos de funções exponenciais. Essas equações incluem a equação de Schrödinger e a equação de Laplace assim como as equações para o movimento harmônico simples.Todas as funçoes estão bem especifidas sendo ligadas uma na outra.
Função exponencial no plano complexo
Quando considerada como uma função definida no plano complexo, a função exponencial retém
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