Funções Circulares

As funções circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria circular e são importantes devido à sua periodicidade pois elas podem representar fenômenos naturais periódicos, como as variações da temperatura terrestre, o comportamento ondulatório do som, a pressão sanguínea no coração, os níveis de água dos oceanos, etc.

Funções reais

Devemos ter um bom conhecimento das definições e propriedades que caracterizam a teoria de funções reais, iniciaremos então com a definição de funções.

Função: Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função f de A em B, é uma correspondência que associa a cada elemento de A um único elemento de B.

O conjunto A é denominado o domínio de f, o conjunto B é denominado contradomínio de f. O elemento y de B que corresponde ao elemento x de A de acordo com a lei f, é denominado imagem de x por f e é indicado por y=f(x).

O conjunto de todos elementos de B que são imagem de algum elemento de A é denominado conjunto Imagem de f.

Uma função f é denominada função real de variável real, se o domínio e contradomínio de f são subconjuntos do conjunro dos números reais.

Função periódica: Uma função real f, com domínio em A subconjunto da reta real, é dita periódica se, existe um número real positivo T, tal que para todo x em A, vale

f(x+T) = f(x)

Podem existir muitos números reais T com esta propriedade, mas o menor número positivo T, que satisfaz a esta condição recebe o nome de período fundamental.

Exemplo: A função real definida por f(x)=x-[x], onde [x] é a parte inteira do número real x que é menor ou igual a x. Esta função é periódica de período fundamental T=1.

Função limitada: Uma função f de domínio A contido em R é limitada, se existe um número real positivo L, tal que para todo x em A, valem as desigualdades:

-L < f(x) < L

Esta última expressão pode ser escrita como |f(x)|<L.

Exemplo: A função real f(x)=2x/(1+x²) é limitada pois

-1 < x/(1+x²) < 1

Funções crescentes e decrescentes

Seja f uma função definida em um intervalo I, x e y dois valores quaisquer pertencentes a I, com x<y. Afirmamos que f é crescente, se f(x)<f(y) e que f é decrescente, se f(x)>f(y).

Exemplo: A função real f(x)=2x+1 é crescente e a função real f(x)=e-x é decrescente.

Funções pares e ímpares

1. Função par: Uma função f é uma função par, se para todo x do domínio de f:

f(-x) = f(x)

Funções pares são simétricas em relação ao eixo vertical OY.

Exemplo: A função real definida por f(x)=x² é par.

2. Função ímpar: Uma função f é uma função ímpar, se para todo x do domínio de f:

f(-x) = -f(x)

Funções ímpares são simétricas em relação à origem (0,0) do sistema de eixos cartesiano.

Exemplo: A função real definida por f(x)=x³ é ímpar.

Função seno

Dado um ângulo de medida x, a função seno é a relação que associa a cada x em R, o seno do ângulo x, denotado pelo número real sen(x). A função é denotada por f(x)=sen(x) ou y=sen(x).

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ].

x 0 /4 /2 3 /4 5 /4 3 /2 7 /4 2

y 0 ½ 1 ½ 0 -½ -1 -½ 0

Gráfico: Na figura, o segmento Oy' que mede sen(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo OY.

Propriedades da função seno

1. Domínio: A função seno está definida para todos os valores reais, sendo assim Dom(sen)=R.

2. Imagem: O conjunto imagem da função seno é o intervalo I={y em R: -1<y<1}

3. Periodicidade: A função é periódica de período 2 . Para todo x em R e para todo k em Z:

sen(x) = sen(x+2 ) = sen(x+4 ) =...= sen(x+2k )

Justificativa: Pela fórmula do seno da soma de dois arcos, temos

sen(x+2k ) = sen(x)cos(2k ) + cos(x)sen(2k )

para k em Z, cos(2k )=1 e sen(2k )=0

sen(x+2k ) = sen(x)(1)+cos(x)(0) = sen(x)

A função seno é periódica de período fundamental T=2 .

Completamos o gráfico da função seno, repetindo os valores da tabela em cada intervalo de medida 2 .

4. Sinal:

Intervalo [0, /2] [ /2, ] [ ,3 /2] [3 /2,2 ]

Função seno positiva Positiva negativa negativa

5.

6. Monotonicidade:

Intervalo [0, /2] [ /2, ] [ ,3 /2] [3 /2,2 ]

Função seno crescente decrescente decrescente crescente

7.

8. Limitação: O gráfico de y=sen(x) está inteiramente contido na faixa do plano situada entre as retas horizontais y=-1 e y=1. Para todo x real temos:

-1 < sen(x) < 1

9. Simetria: A função seno é ímpar, pois para todo x real, tem-se que:

sen(-x) = -sen(x)

Função cosseno

Dado um ângulo de medida x, a função cosseno é a relação que associa a cada x em R o número real cos(x). Esta função é denotada por f(x)=cos(x) ou y=cos(x).

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ].

x 0 /4 /2 3 /4 5 /4 3 /2 7 /4 2

y 1 ½