Física 2 Método de malha

Método das Malhas

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AjudaCapítulo 6Capítulo 4Secção 5.2Secção 5.4

Este método permite obter a corrente em cada uma das malhas de um circuito. Uma malha é um caminho fechado cuja particularidade reside no facto de não conter no seu interior outro caminho também fechado. Na Figura 5.14 dão-se exemplos de caminhos fechados que constituem malhas, (a), e de caminhos que não constituem malhas, (b). De acordo com esta definição, uma malha é um caminho cuja representação gráfica não exige a intersecção de qualquer dos ramos do circuito.

Figura 5.14 Malhas (a) e caminhos fechados que não constituem malhas (b)

Como se afirmou anteriormente, o método das malhas permite obter as correntes em todas as malhas de um circuito. As correntes nas malhas não coincidem necessariamente com as correntes nos componentes do circuito, podendo no entanto ser obtidas por adição ou subtracção daquelas. No circuito representado na Figura 5.14.a, por exemplo, verifica-se que a corrente na resistência R4, no sentido indicado, é dada pela diferença entre as correntes nas malhas-2 -3, designadamente i4=(i2-i3).

A análise de um circuito com M malhas exige a obtenção e a resolução de M equações linearmente independentes. As equações resultam da aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões às malhas do circuito, que após substituição das características tensão-corrente dos componentes permitem obter um sistema de M equações a M incógnitas.

A aplicação do método das malhas baseia-se em quatro passos principais, a saber:

(i) determinação do número total de malhas do circuito e atribuição de um sentido às correntes respectivas;

(ii) aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões a cada uma das malhas;

(iii) substituição da característica tensão-corrente dos componentes ao longo da malha;

(iv) resolução do sistema de equações.

À semelhança do método dos nós, nesta sebenta optou-se por apresentar o método das malhas considerando quatro tipos básicos de circuitos: com fontes de tensão independentes apenas; com fontes de tensão e de corrente independentes; com fontes independentes e de tensão dependentes; e, finalmente, com os quatro tipos de fontes possíveis.

5.3.1 Fontes de Tensão Independentes

Na Figura 5.15 apresenta-se um circuito resistivo com uma fonte de tensão independente.

Figura 5.15 Método dos malhas

De acordo com os preceitos introduzidos anteriormente, a análise deste circuito com base no método das malhas segue os seguintes quatro passos:

Passo 1: o circuito possui duas malhas, M=2, e a sua resolução exige a obtenção de duas equações algébricas linearmente independentes. Os sentidos atribuídos às correntes nas malhas encontram-se indicados na própria figura.

Passo 2: a aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões às malhas-1 e -2 permite obter as seguintes duas equações algébricas:

malha-1 (5.60)

malha-2 (5.61)

Passo 3: a substituição das características tensão-corrente das resistências permite rescrever as equações (5.60) e (5.61) na seguinte forma:

malha-1 (5.62)

malha-2 (5.63)

Em conjunto (5.62) e (5.63) definem um sistema de duas equações algébricas cuja representação matricial é

(5.64)

Passo 4: A resolução do sistema de equações (5.64) permite obter as seguintes expressões para as correntes nas duas malhas:

(5.65)

na primeira malha, e

(5.66)

na segunda. As correntes nos diversos componentes do circuito podem agora ser determinadas em função das expressões (5.65) e (5.66). Por exemplo, as correntes nas resistência R1, R2 e R3 são

(5.67)

(5.68)

e

(5.69)

respectivamente.

Considere-se agora o circuito representado na Figura 5.16, com três fontes de tensão independentes localizadas em outras tantas malhas. Repetindo a sequência de quatro passos do método das malhas, verifica-se que:

Figura 5.16 Método das malhas

Passo 1: o circuito possui três malhas, M=3, o que indica ser necessária a obtenção de três equações algébricas linearmente independentes para a sua resolução. O sentido atribuído às correntes nas malhas encontram-se indicados na figura.

Passos 2 e 3: a aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões às malhas-1, -2 e -3, e após substituição da Lei de Ohm nos termos relativos às resistências, permite obter as seguintes três equações algébricas:

malha-1 (5.70)

malha-2 (5.71)

malha-3 (5.72)

Em conjunto (5.70), (5.71) e (5.72) definem um sistema de três equações algébricas de representação matricial

(5.73)

Passo 4: a resolução do sistema (5.73) através da regra de Cramer permite obter as seguintes expressões para as correntes nas malha

(5.74)

(5.75)

e

(5.76)

em que D define o determinante da matriz [R], e D1, D2 e D3 definem, respectivamente, os determinantes da matriz [R] quando a primeira, a segunda e a terceira colunas são substituídas, respectivamente, pelo vector das fontes de tensão independentes, [vs]. Por exemplo, a expressão da corrente na malha-1 resulta da expansão do cociente entre determinantes