Geometria Analitica

Questão 1: Dadas as matrizes e , tal que . Determine a matriz X, depois calcule o seu determinante, sendo dada a sentença: .

B=(b_ij )_3x3 ; b_ij=i-j^2

b_11=1-1^2=0

b_12=1-2^2=-3

b_13=1-3^2=-8

b_21=2-1^2=1

b_22=2-2^2=-2

b_23=2-3^2=-7

b_31=3-1^2=2

b_32=3-2^2=-1

b_33=3-3^2=-6

B=[■(0&-3&-8@1&-2&-7@2&-1&-6)]

X-2A=B

X=B+2A

X=[■(0+{2×(-1) }&-3+{2×(1) }&-8+{2×(3) }@1+{2×(-1) }&-2+{2×(0) }&-7+{2×(-1) }@2+{2×(2) }&-1+{2×(-1) }&-6+{2×(22) } )]=[■(-2&-1&-2@-1&-2&-9@6&-3&-2)]

detX=|■(-2&-1&-2@-1&-2&-9@6&-3&-2)|├ ■(-2&-1@-1&-2@6&-3)┤|=-8+54-6-24+54+2=72

Questão 2:Sendo e , calcule o valor de .

A×A^(-1)=I_n

[■(b&-3@1&0)]×[■(0&a@-1⁄3&2)]=[■(1&0@0&1)]

[■({b×0}+{(-3)×(-1⁄3) }&{b×a}+{(-3)×2}@{1×0}+{0×(-1⁄3) }&{1×a}+{2×0} )]=[■(1&0@0&1)]

[■(1&b×a-6@0&a)]=[■(1&0@0&1)]

a=1b×1-6=0

b×1=6

b=6

a+b=1+6=7

Questão 3: Resolva, no conjunto dos Reais, a seguinte equação:

|■(2&1&3@4&-1&x-1@x&0&x)|├ ■(2&1@4&-1@x&0)┤|=12

-2x+(x^2-x)+0+3x+0-4x=12

x^2-4x-12=0

∆=(-4)^2-4×1×(-12) x=(-(-4)±√64)/(2×1)

∆=16+48 x=(4±8)/2 x^'=(4+8)/2=6

∆=64 x^''=(4-8)/2=-2

Questão 4: Uma montadora tem contrato para produzir três tipos de carros: de luxo, sedam e popular. A quantidade de material empregada em cada tipo de carro é dada pela tabela 1.

Tabela 1

Ferro Vidro Plástico Borracha

Luxo 9 4 6 8

Sedam 7 4 5 7

Popular 5 4 6 5

Se a montadora vai produzir 5, 6 e 12 de carros do tipo de luxo, sedam e popular, respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregados?

M=[■(9&4&6@7&4&5@5&4&6)■(8@7@5)]=[■(9×5&4×5&6×5@7×6&4×6&5×6@5×12&4×12&6×12)■(8×5@7×6@5×12)]=[■(45&20&30@42&24&30@60&48&72)■(40@42@60)]

Ferro=45+42+60=147

Vidro=20+24+48=92

Plástico=30+30+72=132

Borracha=40+42+60=142

Serão empregados 147 materiais de Ferro, 92 de Vidro, 132 de Plástico e 142 de Borracha.

Suponha que os preços por unidade de ferro, vidro, plástico e borracha sejam respectivamente 4, 2, 2 e 3 u.m. (unidade monetária). Qual é o preço de cada tipo de carro produzido?

M=[■(9&4&6@7&4&5@5&4&6)■(8@7@5)]=[■(9×4&4×2&6×2@7×4&4×2&5×2@5×4&4×2&6×2)■(8×3@7×3@5×3)]=[■(36&8&12@28&8&10@20&8&12)■(24@21@15)]

LUXO=36+8+12+24=80 u.m.

SEDAM=28+8+10+21=67 u.m.

POPULAR=20+98+12+15=55 u.m.

Questão 5: Na Inglaterra, três turistas compraram no mesmo dia, as seguintes mercadorias da seguinte forma:

- 1º turista: 50 lenços, 20 calças e 100 meias por 108,5 € (euros).

- 2ºturista: 40 lenços, 30 calças e 200 meias por 152,2 € (euros).

- 3º turista: 30 lenços, 20 calças e 300 meias por 165,9 € (euros).

Calcule o valor de cada lenço, de cada calça e de cada meia.

{█(50x+20y+100z=108,5@40x+30y+200z=152,2@30x+20y+300z=165,9)┤

D=|■(50&20&100@40&30&200@30&20&300)|├ ■(50&20@40&30@30&20)┤|

D=450000+120000+8000-90000-200000-240000=120000

Faz-se então, determinando de x, y e z.

D_1=|■(108,5&20&100@152,2&30&200@165,9&20&300)|├ ■(108,5&20@152,2&30@165,9&20)┤|

D_1=976500+663600+304400-497700-434000-913200=99600

D_2=|■(50&108,5&100@40&152,2&200@30&165,9&300)|├ ■(50&108,5@40&152,2@30&165,9)┤|

D_2=2283000+651000+663600-456600-1659000-1302000=180000

D_3=|■(50&20&108,5@40&30&152,2@30&20&165,9)|├ ■(50&20@40&30@30&20)┤|

D_3=248850+91320+86800-97650-152200-132720=44400

X=D_1/D=99600/120000=0,83

Y=D_2/D=180000/120000=1,50

Z=D_3/D=44400/120000=0,37

S={0,83;1,50;0,37}

Cada lenço custa 0,83 €; cada calça custa 1,50 € e cada meia custa 0,37 €.

Questão 6: Determine um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores